Sabendo que \log 2=0,301, \log 3=0,477, \log 5=0,699 e \log 7=0,845 calcule:
\log 42

Passo 1

O enunciado pede para calcular \log 42. As informações dadas são:
\log 2 = 0,301,\qquad \log 3 = 0,477,\qquad \log 5 = 0,699,\qquad \log 7 = 0,845.
Não foi informado explicitamente, mas os valores fornecidos são os logaritmos decimais (base 10). Vou usar essas informações para encontrar \log 42.

Passo 2

Vamos lembrar o que é logaritmo e as propriedades que vamos usar (explicando bem devagar, como se estivéssemos na prova juntos). Definição: dizer \log_{10} x = y significa que 10^y = x. Ou seja, o log é o expoente ao qual a base 10 deve ser elevada para obter x.
Propriedades importantes (que caem muito em prova) e por que valem:
  1. Produto vira soma:
\log_{10}(ab) = \log_{10} a + \log_{10} b.
Por que isso é verdade? Se \log_{10} a = u então 10^u=a. Se \log_{10} b = v então 10^v=b. Então ab = 10^u\cdot 10^v = 10^{u+v}. Aplicando \log_{10} nos dois lados dá \log_{10}(ab)=u+v=\log_{10}a+\log_{10}b.
  1. Potência vira multiplicação:
\log_{10}(a^k) = k\log_{10} a.
Motivo: a^k = (10^{\log_{10}a})^k = 10^{k\log_{10}a}, daí aplicar \log_{10}.
Essas duas são as que vamos usar aqui. Não precisa decorar mais nada além dessas — elas resolvem 90% das questões fáceis com log.

Passo 3

Fatoramos 42 em fatores primos para aproveitar a propriedade do produto:
42 = 2 \cdot 3 \cdot 7.
Isso é direto: 2\cdot 3 = 6 e 6\cdot 7 = 42.

Passo 4

Aplicando a propriedade do log produto (que transforma produto em soma):
\log 42 = \log(2\cdot 3\cdot 7) = \log 2 + \log 3 + \log 7.
Aqui usei que \log é \log_{10} e que para três fatores a propriedade estende naturalmente (somamos os logs).

Passo 5

Substituo os valores dados e faço a soma passo a passo (vou somar em duas etapas para ficar bem claro na hora da prova):
\log 2 + \log 3 = 0,301 + 0,477 = 0,778.
Agora somo com \log 7:
0,778 + 0,845 = 1,623.
Explicando a adição: alinhei as casas decimais e somei coluna a coluna (8+7=15, escrevo 5 e levo 1; etc.). É bom treinar essa soma manualmente para não errar na prova se não puder usar calculadora.

Passo 6

Breve verificação intuitiva (opcional, mas ajuda a confiar no resultado): se \log 42 = 1,623, então 42 \approx 10^{1,623} = 10 \cdot 10^{0,623}. Sabendo que 10^{0,6}\approx 3,98 e 10^{0,623} é um pouco maior, obtém-se algo perto de 10\cdot 4,2 = 42, então faz sentido numericamente.

Resposta

1,623

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