Sabendo que a massa específica de um solo é de 1,60 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, o teor de umidade é 33 \% e a massa específica dos grãos 2,64 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}, calcule:
a) o índice de vazios,
b) a porosidade (%),
c) grau de saturação (%) do solo,
d) qual a quantidade de água que se deve adicionar a 1 \mathrm{~m}^{3} de solo para saturá-lo? Considere massa específica da água igual a a 1 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}.

Passo 1

O enunciado dá os seguintes dados e pede quatro coisas. Dados (peguei todos do enunciado):
  • Massa específica (densidade aparente, solo úmido): \rho = 1,60\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Teor de umidade: w = 33\%, isto é w = 0,33 (razão massa de água / massa de sólidos).
  • Massa específica dos grãos (densidade dos sólidos): \rho_{s} = 2,64\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • Massa específica da água: \rho_{w} = 1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    O enunciado pede:
    (a) o índice de vazios e;
    (b) a porosidade n em \%;
    (c) o grau de saturação S_{r} em \%;
    (d) a quantidade de água que se deve adicionar a 1\\ \mathrm{m^{3}} de solo para saturá‑lo (considerando \rho_{w}=1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}).

Passo 2

Vamos reunir as fórmulas fundamentais e explicar cada variável (fórmula e significado):
  • e é o índice de vazios, definido por
e=\frac{V_{v}}{V_{s}},
onde V_{v} é o volume de vazios (água + ar) e V_{s} é o volume dos sólidos.
  • A porosidade n é a fração do volume total ocupada por vazios:
n=\frac{V_{v}}{V}=\frac{e}{1+e}.
  • O teor de umidade w é a razão entre a massa de água e a massa de sólidos:
w=\frac{M_{w}}{M_{s}}.
  • A massa específica dos grãos (densidade dos sólidos) \rho_{s} e a massa específica da água \rho_{w} relacionam massa e volume dos componentes: M_{s}=\rho_{s}V_{s}, M_{w}=\rho_{w}V_{w}.
  • Grau de saturação S_{r} é a fração dos vazios preenchida por água:
S_{r}=\frac{V_{w}}{V_{v}}.
Agora derivamos fórmulas úteis que ligam \rho,\rho_{s},w,e,S_{r}.
Começamos pela densidade aparente (solo úmido):
\rho=\frac{M_{s}+M_{w}}{V}=\frac{\rho_{s}V_{s}+\rho_{w}V_{w}}{V}.
Escrevendo V=V_{s}+V_{v}=V_{s}(1+e) e V_{w}=S_{r}V_{v}=S_{r}eV_{s}, obtemos
\rho=\frac{\rho_{s}V_{s}+\rho_{w}S_{r}eV_{s}}{V_{s}(1+e)}=\frac{\rho_{s}+\rho_{w}S_{r}e}{1+e}.
Também a partir de w=\dfrac{M_{w}}{M_{s}}=\dfrac{\rho_{w}V_{w}}{\rho_{s}V_{s}}=\dfrac{\rho_{w}}{\rho_{s}}S_{r}e obtemos
S_{r}=\frac{\rho_{s}}{\rho_{w}}\frac{w}{e}=\frac{G_{s}\,w}{e},
onde G_{s}=\dfrac{\rho_{s}}{\rho_{w}} é a gravidade específica dos grãos. Substituindo S_{r}=\dfrac{G_{s}w}{e} na expressão de \rho cancela o termo com e no numerador e resulta a fórmula muito prática
\rho=\frac{\rho_{s}(1+w)}{1+e}.
Desse modo isolamos e:
\boxed{\,e=\frac{\rho_{s}(1+w)}{\rho}-1\,.}
Esta fórmula é conveniente porque dá e a partir de \rho,\rho_{s},w sem precisar conhecer S_{r} previamente.

Passo 3

Calcular o índice de vazios e usando
e=\frac{\rho_{s}(1+w)}{\rho}-1.
Substituindo os valores (tudo em \mathrm{g/cm^{3}} e w adimensional):
\rho_{s}(1+w)=2,64\times(1+0,33)=2,64\times1,33=3,5112.
\frac{\rho_{s}(1+w)}{\rho}=\frac{3,5112}{1,60}=2,1945.
e=2,1945-1=1,1945.
Portanto
\boxed{e=1,1945\approx1,19.}

Passo 4

Calcular a porosidade n usando
n=\frac{e}{1+e}.
Substituindo e=1,1945:
1+e=2,1945, \qquad n=\frac{1,1945}{2,1945}=0,5446.
Convertendo para porcentagem:
n=0,5446\times100\%=54,46\%.
Portanto
\boxed{n=54,46\%\approx54,5\%.}

Passo 5

Calcular o grau de saturação S_{r}. Podemos usar a relação já derivada
S_{r}=\frac{G_{s}\,w}{e},
onde G_{s}=\dfrac{\rho_{s}}{\rho_{w}}=\dfrac{2,64}{1,00}=2,64. Assim
S_{r}=\frac{2,64\times0,33}{1,1945}=\frac{0,8712}{1,1945}=0,7293.
Em porcentagem:
S_{r}=72,93\%.
Portanto
\boxed{S_{r}=72,93\%\approx72,9\%.}

Passo 6

Calcular a quantidade de água a adicionar a 1\\ \mathrm{m^{3}} de solo para saturá‑lo (isto é, para levar S_{r} de 0,7293 para 1). Estrutura do raciocínio:
  • Volume total do solo: V=1\\ \mathrm{m^{3}}.
  • Fração do volume total ocupada por vazios é a porosidade n. Logo o volume total de vazios é V_{v}=nV.
  • Volume de água necessário para saturar completamente: V_{w,\text{sat}}=V_{v}=nV.
  • Volume de água já presente atualmente: V_{w,\text{atual}}=S_{r}V_{v}=S_{r}nV.
  • Volume adicional necessário:
\Delta V_{w}=V_{w,\text{sat}}-V_{w,\text{atual}}=(1-S_{r})\,n\,V.
Substituindo n=0,5446, S_{r}=0,7293, V=1\\ \mathrm{m^{3}}:
\Delta V_{w}=(1-0,7293)\times0,5446\times1=0,2707\times0,5446=0,1475\\ \mathrm{m^{3}}.
Como \rho_{w}=1{,}00\\ \mathrm{g/cm^{3}}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}, a massa de água correspondente é
\Delta m_{w}=\rho_{w}\,\Delta V_{w}=1000\times0,1475=147,5\\ \mathrm{kg}.
Em litros (1 L = 1\\ \mathrm{kg} de água aproximado a \rho_{w}=1\\ \mathrm{g/cm^{3}}):
\Delta V_{w}=0,1475\\ \mathrm{m^{3}}=147,5\\ \mathrm{L}.
Portanto, para saturar 1\\ \mathrm{m^{3}} de solo é preciso adicionar aproximadamente 0,1475\\ \mathrm{m^{3}} de água, isto é 147{,}5\\ \mathrm{L} (massa 147{,}5\\ \mathrm{kg}).

Resposta

a) e=1,1945\approx1,19
b) n=54,46\%\approx54,5\%
c) S_{r}=72,93\%\approx72,9\%
d) \Delta V_{w}=0,1475\\ \mathrm{m^{3}}=147{,}5\\ \mathrm{L} (massa \Delta m_{w}=147{,}5\\ \mathrm{kg}).

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