A massa específica seca de um solo é de 1,65 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3} e a massa específica dos grãos é de 2,68 \mathrm{~g} / \mathrm{cm}^{3}. Determine para o solo saturado:
a) Teor de umidade;
b) Índice de vazios;
c) Massa específica total.

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos e o que se quer calcular):
  • Dados fornecidos:
    • Massa específica seca (densidade seca): \rho_d = 1,65\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
    • Massa específica dos grãos (densidade dos sólidos): \rho_s = 2,68\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • O que pedir:
    a) o teor de umidade do solo quando saturado (isto é, w para S=100\%);
    b) o índice de vazios (void ratio) e do solo;
    c) a massa específica total (densidade) do solo saturado \rho_{\text{sat}}.
Observações úteis que vou usar sem fazer suposições fora do enunciado:
  • Para água pura tomo \rho_w = 1,00\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
  • “Solo saturado” significa grau de saturação S=1 (ou 100\%), ou seja todos os vazios estão preenchidos por água.

Passo 2

Encontrar o índice de vazios e a partir de \rho_d e \rho_s.
Primeiro, lembrar as definições básicas e demonstrar a relação usada:
  • Seja V o volume total, V_s o volume de sólidos e V_v o volume de vazios. O índice de vazios é
e=\frac{V_v}{V_s}.
  • O volume total é V=V_s+V_v=V_s(1+e). Portanto a fração de volume ocupada por sólidos é
\frac{V_s}{V}=\frac{1}{1+e}.
  • A massa de sólidos por unidade de volume total é a densidade seca \rho_d. Também vale
\rho_d=\rho_s\cdot\frac{V_s}{V}=\rho_s\cdot\frac{1}{1+e}.
Isolando e:
\frac{1}{1+e}=\frac{\rho_d}{\rho_s}\quad\Rightarrow\quad 1+e=\frac{\rho_s}{\rho_d}\quad\Rightarrow\quad e=\frac{\rho_s}{\rho_d}-1.
Agora aplico numericamente (usando os dados que o enunciado deu):
e=\frac{2,68}{1,65}-1.
Calculemos passo a passo:
\frac{2,68}{1,65}=1,624242\ldots
e=1,624242\ldots -1 =0,624242\ldots
Arredondando razoavelmente:
e\approx 0,624.

Passo 3

Determinar o teor de umidade w quando o solo estiver saturado ( S=1).
Vou deduzir a fórmula do teor de umidade de forma clara:
  • O teor de umidade é definido por
w=\frac{M_w}{M_s},
onde M_w é a massa de água e M_s é a massa de sólidos.
  • Massa de água é M_w=V_w\cdot\rho_w. Quando S é o grau de saturação, V_w=S\cdot V_v.
  • Assim
w=\frac{S\cdot V_v\cdot\rho_w}{V_s\cdot\rho_s}.
  • Como e=V_v/V_s, substituindo obtemos
w=S\cdot e\cdot\frac{\rho_w}{\rho_s}.
  • Usando a definição de gravidade específica dos grãos G_s=\dfrac{\rho_s}{\rho_w} (ou seja \rho_w/\rho_s=1/G_s), a expressão fica
w=S\cdot\frac{e}{G_s}.
Para solo saturado S=1, portanto
w_{\text{sat}}=\frac{e}{G_s}.
Aqui G_s=\dfrac{\rho_s}{\rho_w}=\dfrac{2,68}{1,00}=2,68. Usando e\approx0,624242\ldots:
w_{\text{sat}}=\frac{0,624242\ldots}{2,68}=0,2328\ldots
Em porcentagem:
w_{\text{sat}}\approx 0,2328\;=\;23,28\%.

Passo 4

Calcular a massa específica total (densidade) do solo saturado \rho_{\text{sat}}.
Relação direta útil: a densidade saturada é a massa total (sólidos + água) por unidade de volume total. Partindo de \rho_d = M_s/V e usando M_w = w M_s,
\rho_{\text{sat}}=\frac{M_s+M_w}{V}=\frac{M_s(1+w)}{V}=\rho_d(1+w).
Já temos \rho_d=1,65\\ \mathrm{g/cm^{3}} e w_{\text{sat}}\approx 0,2328. Então
\rho_{\text{sat}}=1,65\cdot(1+0,2328)=1,65\cdot 1,2328.
Faço a multiplicação:
1,65\cdot 1,2328 = 2,03412\\ \mathrm{g/cm^{3}}.
Arredondando de forma prática:
\rho_{\text{sat}}\approx 2,034\\ \mathrm{g/cm^{3}}.

Passo 5

Pequeno comentário final (motivador): conseguimos tudo apenas com as relações básicas de volume e massa no solo (como o fato de que \rho_d=\rho_s/(1+e) e que w=S\cdot e/G_s). Você já viu os fórmulas principais que voltam sempre em exercícios de solos — se decorar a origem delas fica bem mais fácil na prova. Força aí, você tá indo bem!

Resposta

a) w_{\text{sat}}=23,28\%
b) e=0,624
c) \rho_{\text{sat}}=2,034\\ \mathrm{g/cm^{3}}

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