Sabendo que o mdc (a, 0)=7, achar os valores do inteiro a.

Passo 1

O que o enunciado dá: \gcd(a,0)=7.
O que pede: encontrar todos os valores inteiros de a que satisfazem essa condição.

Passo 2

Lembrando a definição (de forma simples): \gcd(x,y) é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente x e y. Ou seja, \gcd(x,y)=d significa que
  • d divide x e d divide y;
  • qualquer outro inteiro c que divida x e y também divide d.

Passo 3

Propriedade importante e muito usada: para qualquer inteiro n não nulo vale
\gcd(n,0)=|n|.
Explicação (prova curta e direta):
  • |n| divide n por definição e também divide 0 (todo inteiro divide 0), logo |n| é um divisor comum de n e 0.
  • Se d é qualquer outro divisor comum de n e 0, então d divide n; assim d divide |n|. Logo nenhum divisor comum é maior que |n|.
    Portanto |n| é o maior divisor comum positivo de n e 0, isto é \gcd(n,0)=|n|.
Observação: o caso n=0 \gcd(0,0), que é tratado à parte (algumas convenções definem 0, outras deixam indefinido), mas aqui não precisamos disso porque o valor do gcd dado é 7\neq0, portanto a\neq0.

Passo 4

Aplicando a propriedade ao nosso problema: como \gcd(a,0)=7, então
|a|=7.
Isto implica que a pode ser 7 ou -7. (Se a questão exigisse apenas inteiros não negativos, ficaríamos só com a=7.)

Resposta

a = 7
a = -7

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