Sabendo que o mdc
, achar os valores do inteiro a.
Passo 1
O que o enunciado dá:
.
O que pede: encontrar todos os valores inteiros de que satisfazem essa condição.
O que pede: encontrar todos os valores inteiros de
Passo 2
Lembrando a definição (de forma simples):
é o maior inteiro positivo que divide simultaneamente
e
. Ou seja,
significa que
-
divide e divide ; - qualquer outro inteiro
que divida e também divide .
Passo 3
Propriedade importante e muito usada: para qualquer inteiro
não nulo vale
Explicação (prova curta e direta):
-
divide por definição e também divide (todo inteiro divide ), logo é um divisor comum de e . - Se
é qualquer outro divisor comum de e , então divide ; assim divide . Logo nenhum divisor comum é maior que .
Portantoé o maior divisor comum positivo de e , isto é .
Observação: o caso
dá
, que é tratado à parte (algumas convenções definem
, outras deixam indefinido), mas aqui não precisamos disso porque o valor do gcd dado é
, portanto
.
Passo 4
Aplicando a propriedade ao nosso problema: como
, então
Isto implica que
pode ser
ou
. (Se a questão exigisse apenas inteiros não negativos, ficaríamos só com
.)