1. Sabendo que o plano tangente a f(x, y) no ponto (1,-1,2) é \quad 3 x-4 y+2 z=11. Quanto valem as derivadas parciais f_{x}(1,-1) e f_{y}(1,-1) ?

Passo 1

O enunciado dá a equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto (1,-1,2), que é
3x-4y+2z=11.
O que o problema pede:
  • Calcular \,f_x(1,-1)\, (derivada parcial de f em relação a x no ponto (1,-1)).
  • Calcular \,f_y(1,-1)\, (derivada parcial de f em relação a y no ponto (1,-1)).
Informações relevantes dadas:
  • A superfície satisfaz z=f(x,y).
  • O plano tangente em (1,-1,2) é \;3x-4y+2z=11.
  • O ponto (1,-1,2) confirma que f(1,-1)=2 (pois a coordenada z do ponto é 2).

Passo 2

Recordando a fórmula do plano tangente para uma superfície dada por z=f(x,y) no ponto (a,b,f(a,b)):
z = f(a,b) + f_x(a,b)\,(x-a) + f_y(a,b)\,(y-b).
O que isso significa, de forma prática:
  • f(a,b) é o valor da função no ponto (altura da superfície).
  • f_x(a,b) é a inclinação (senso de derivada) da superfície na direção do eixo x naquele ponto — ou seja, quanto z muda quando x varia um pouco, mantendo y fixo.
  • f_y(a,b) é a inclinação na direção do eixo y — quanto z muda quando y varia um pouco, com x fixo.
    Na prova, geralmente se compara a equação do plano tangente dada com essa fórmula para extrair f_x(a,b) e f_y(a,b).

Passo 3

Vamos pôr o plano dado na forma explícita z=\cdots para comparar com a fórmula anterior. Começando de
3x-4y+2z=11,
isolamos z:
2z = 11 - 3x + 4y,
z = \frac{11}{2} - \frac{3}{2}x + 2y.

Passo 4

Escrevendo a fórmula do plano tangente em torno do ponto (a,b)=(1,-1) temos:
z = f(1,-1) + f_x(1,-1)\,(x-1) + f_y(1,-1)\,(y+1).
Sabemos que f(1,-1)=2, então
z = 2 + f_x(1,-1)\,(x-1) + f_y(1,-1)\,(y+1).

Passo 5

Expandimos a expressão acima para organizar por termos em x, y e constante:
z = 2 + f_x(1,-1)\,x - f_x(1,-1) + f_y(1,-1)\,y + f_y(1,-1).
Agrupando:
z = \bigl(2 - f_x(1,-1) + f_y(1,-1)\bigr) + f_x(1,-1)\,x + f_y(1,-1)\,y.
Agora comparamos termo a termo com a forma que obtivemos no Passo 3:
z = \frac{11}{2} - \frac{3}{2}x + 2y.
Comparando os coeficientes de x e y obtemos imediatamente:
f_x(1,-1) = -\frac{3}{2}, \qquad f_y(1,-1) = 2.
(Como verificação, o termo constante também bate: 2 - f_x(1,-1) + f_y(1,-1) = 2 - (-\tfrac{3}{2}) + 2 = \tfrac{11}{2}.)

Passo 6

Comentário prático (truque rápido para a prova): outra forma rápida é notar que, para o gráfico z=f(x,y), um vetor normal ao plano tangente é (-f_x, -f_y, 1). O plano dado tem normal (3,-4,2). Então esses vetores são proporcionais; igualando com um fator \lambda e usando a componente z obtém-se \lambda=2, e daí -2f_x=3, -2f_y=-4, que leva aos mesmos resultados: f_x=-3/2, f_y=2. É uma alternativa válida quando quiser resposta rápida.

Resposta

f_x(1,-1) = -\dfrac{3}{2}
f_y(1,-1) = 2

Exercícios relacionados