- Sabendo que o plano tangente a
no ponto
é
. Quanto valem as derivadas parciais
e
?
Passo 1
O enunciado dá a equação do plano tangente à superfície
no ponto
, que é
O que o problema pede:
- Calcular
(derivada parcial de em relação a no ponto ). - Calcular
(derivada parcial de em relação a no ponto ).
Informações relevantes dadas:
- A superfície satisfaz
. - O plano tangente em
é . - O ponto
confirma que (pois a coordenada do ponto é ).
Passo 2
Recordando a fórmula do plano tangente para uma superfície dada por
no ponto
:
O que isso significa, de forma prática:
-
é o valor da função no ponto (altura da superfície). -
é a inclinação (senso de derivada) da superfície na direção do eixo naquele ponto — ou seja, quanto muda quando varia um pouco, mantendo fixo. -
é a inclinação na direção do eixo — quanto muda quando varia um pouco, com fixo.
Na prova, geralmente se compara a equação do plano tangente dada com essa fórmula para extraire .
Passo 3
Vamos pôr o plano dado na forma explícita
para comparar com a fórmula anterior. Começando de
isolamos
:
Passo 4
Escrevendo a fórmula do plano tangente em torno do ponto
temos:
Sabemos que
, então
Passo 5
Expandimos a expressão acima para organizar por termos em
,
e constante:
Agrupando:
Agora comparamos termo a termo com a forma que obtivemos no Passo 3:
Comparando os coeficientes de
e
obtemos imediatamente:
(Como verificação, o termo constante também bate:
.)
Passo 6
Comentário prático (truque rápido para a prova): outra forma rápida é notar que, para o gráfico
, um vetor normal ao plano tangente é
. O plano dado tem normal
. Então esses vetores são proporcionais; igualando com um fator
e usando a componente
obtém-se
, e daí
,
, que leva aos mesmos resultados:
,
. É uma alternativa válida quando quiser resposta rápida.