1. Considere a superfície do parabolóide de equação z=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25}.
    a) Encontre uma equação do plano tangente ao parabolóide no ponto P_{0}=(6,10,8).
    b) Este parabolóide deve ser apoiado em uma viga presa ao eixo z, de tal modo que esta fique tangente à superfície em P_{0}. Calcule o comprimento da viga.

Passo 1

O enunciado nos dá a superfície
z=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25},
e o ponto P_{0}=(6,10,8). As perguntas são:
(a) Encontrar uma equação do plano tangente ao parabolóide no ponto P_{0}.
(b) Uma viga está presa ao eixo z e é colocada de modo que fique tangente à superfície em P_{0}. Calcular o comprimento dessa viga (isto é, a distância entre P_{0} e o ponto onde a viga, que é uma reta tangente, intersecta o eixo z).

Passo 2

Primeiro vamos preparar o que precisamos para o plano tangente. Defina a função
f(x,y)=\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{25},
que dá z=f(x,y). Para construir o plano tangente precisamos das derivadas parciais de f. Lembrete rápido (o que é derivada parcial): a derivada parcial de f em relação a x, escrita \frac{\partial f}{\partial x}, mede a taxa de variação de f quando x varia mantendo y fixo; análogo para \frac{\partial f}{\partial y}.
Calcule as derivadas:
\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{2x}{9}, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}=\frac{2y}{25}.
Agora avalie essas derivadas no ponto (x,y)=(6,10):
\frac{\partial f}{\partial x}(6,10)=\frac{2\cdot6}{9}=\frac{12}{9}=\frac{4}{3},
\frac{\partial f}{\partial y}(6,10)=\frac{2\cdot10}{25}=\frac{20}{25}=\frac{4}{5}.

Passo 3

Fórmula do plano tangente para uma superfície dada por z=f(x,y) no ponto (x_{0},y_{0},z_{0}):
z = z_{0} + \frac{\partial f}{\partial x}(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + \frac{\partial f}{\partial y}(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui x_{0}=6, y_{0}=10, z_{0}=8. Substituindo as derivadas encontradas:
z = 8 + \frac{4}{3}(x-6) + \frac{4}{5}(y-10).
Podemos simplificar essa expressão: calcule os termos constantes
\frac{4}{3}( -6) = -8,\qquad \frac{4}{5}(-10)=-8,
então
z = 8 -8 -8 + \frac{4}{3}x + \frac{4}{5}y = \frac{4}{3}x + \frac{4}{5}y -8.
Portanto essa é a equação do plano tangente no ponto P_{0}.

Passo 4

Agora a viga: é uma reta que (i) passa pelo ponto de tangência P_{0} e (ii) é apoiada (presa) ao eixo z, ou seja, ela passa por algum ponto do eixo z que tem coordenadas (0,0,z_c). Queremos o comprimento da viga, isto é, a distância entre P_{0}=(6,10,8) e o ponto de interseção com o eixo z, que chamaremos Q=(0,0,z_{c}).
Condição de tangência para a reta PQ: a reta PQ deve estar contida no plano tangente em P_{0}. Uma forma prática de impor isso é usar o vetor normal ao plano tangente. Para a superfície z-f(x,y)=0 o vetor normal no ponto é
\mathbf{n}=\left(-\frac{\partial f}{\partial x},\; -\frac{\partial f}{\partial y},\; 1\right).
Já calculamos \frac{\partial f}{\partial x}(6,10)=\frac{4}{3} e \frac{\partial f}{\partial y}(6,10)=\frac{4}{5}, logo
\mathbf{n}=\left(-\frac{4}{3},\; -\frac{4}{5},\; 1\right).
O vetor diretor da reta PQ é
\mathbf{v}=Q-P_{0}=(0-6,\;0-10,\;z_{c}-8)=(-6,\,-10,\;z_{c}-8).
Para que PQ esteja no plano tangente, \mathbf{v} deve ser ortogonal ao normal \mathbf{n}; isto é, \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0. Essa é a condição que vai permitir determinar z_{c}.

Passo 5

Calcule o produto escalar \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}:
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v} = \left(-\frac{4}{3}\right)(-6) + \left(-\frac{4}{5}\right)(-10) + 1\cdot(z_{c}-8).
Faça as contas term a term:
\left(-\frac{4}{3}\right)(-6)=\frac{24}{3}=8, \qquad \left(-\frac{4}{5}\right)(-10)=\frac{40}{5}=8.
Portanto
\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=8+8+(z_{c}-8)=16+z_{c}-8=z_{c}+8.
Impondo \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}=0
z_{c}+8=0\quad\Rightarrow\quad z_{c}=-8.
Logo o ponto de apoio Q no eixo z é Q=(0,0,-8).

Passo 6

Finalmente calcule o comprimento da viga, que é a distância entre P_{0}=(6,10,8) e Q=(0,0,-8). Use a fórmula da distância no espaço:
\text{dist}(P_{0},Q)=\sqrt{(6-0)^{2}+(10-0)^{2}+(8-(-8))^{2}}.
Calcule cada termo:
6^{2}=36,\qquad 10^{2}=100,\qquad (8-(-8))^{2}=16^{2}=256.
Somando:
36+100+256=392.
Portanto
\text{dist}(P_{0},Q)=\sqrt{392}.
Simplificando \sqrt{392}=\sqrt{49\cdot8}=7\sqrt{8}=7\cdot2\sqrt{2}=14\sqrt{2}.

Resposta

(a) z=\dfrac{4}{3}x+\dfrac{4}{5}y-8
(b) 14\sqrt{2}

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