- Considere a superfície do parabolóide de equação
.
a) Encontre uma equação do plano tangente ao parabolóide no ponto
.
b) Este parabolóide deve ser apoiado em uma viga presa ao eixo
, de tal modo que esta fique tangente à superfície em
. Calcule o comprimento da viga.
a) Encontre uma equação do plano tangente ao parabolóide no ponto
b) Este parabolóide deve ser apoiado em uma viga presa ao eixo
Passo 1
O enunciado nos dá a superfície
e o ponto
. As perguntas são:
(a) Encontrar uma equação do plano tangente ao parabolóide no ponto .
(b) Uma viga está presa ao eixo e é colocada de modo que fique tangente à superfície em
. Calcular o comprimento dessa viga (isto é, a distância entre
e o ponto onde a viga, que é uma reta tangente, intersecta o eixo
).
(a) Encontrar uma equação do plano tangente ao parabolóide no ponto
(b) Uma viga está presa ao eixo
Passo 2
Primeiro vamos preparar o que precisamos para o plano tangente. Defina a função
que dá
. Para construir o plano tangente precisamos das derivadas parciais de
. Lembrete rápido (o que é derivada parcial): a derivada parcial de
em relação a
, escrita
, mede a taxa de variação de
quando
varia mantendo
fixo; análogo para
.
Calcule as derivadas:
Agora avalie essas derivadas no ponto
:
Passo 3
Fórmula do plano tangente para uma superfície dada por
no ponto
:
Aqui
,
,
. Substituindo as derivadas encontradas:
Podemos simplificar essa expressão: calcule os termos constantes
então
Portanto essa é a equação do plano tangente no ponto
.
Passo 4
Agora a viga: é uma reta que (i) passa pelo ponto de tangência
e (ii) é apoiada (presa) ao eixo
, ou seja, ela passa por algum ponto do eixo
que tem coordenadas
. Queremos o comprimento da viga, isto é, a distância entre
e o ponto de interseção com o eixo
, que chamaremos
.
Condição de tangência para a reta
: a reta
deve estar contida no plano tangente em
. Uma forma prática de impor isso é usar o vetor normal ao plano tangente. Para a superfície
o vetor normal no ponto é
Já calculamos
e
, logo
O vetor diretor da reta
é
Para que
esteja no plano tangente,
deve ser ortogonal ao normal
; isto é,
. Essa é a condição que vai permitir determinar
.
Passo 5
Calcule o produto escalar
:
Faça as contas term a term:
Portanto
Impondo
dá
Logo o ponto de apoio
no eixo
é
.
Passo 6
Finalmente calcule o comprimento da viga, que é a distância entre
e
. Use a fórmula da distância no espaço:
Calcule cada termo:
Somando:
Portanto
Simplificando
.
Resposta
(a)
(b)
(b)