Sabendo que sec x=3, calcular o valor da expressajo y=sen^2 x+2 cdot tg^2 x.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que sec x = 3 e pede para calcular y = sin^2 x + 2 cdot tan^2 x. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas, como as relações entre as funções seno, cosseno e tangente.

Passo 2

Primeiro, lembremos que sec x é o inverso do cosseno, ou seja, sec x = 1cos x. Como sec x = 3, podemos encontrar o valor de cos x:
cos x = 1sec x = 13

Passo 3

Agora que sabemos que cos x = 13, podemos usar a identidade pitagórica para encontrar sin x. A identidade é:
sin^2 x + cos^2 x = 1
Substituindo o valor de cos x:
sin^2 x + (13)^2 = 1 sin^2 x + 19 = 1 sin^2 x = 1 - 19 sin^2 x = 89

Passo 4

Agora, precisamos encontrar tan^2 x. Sabemos que tan x = sin xcos x, então:
tan^2 x = (sin xcos x)^2 = sin^2 xcos^2 x
Substituindo os valores que já encontramos:
tan^2 x = 89(13)^2 = 8919 = 8

Passo 5

Agora que temos sin^2 x = 89 e tan^2 x = 8, podemos calcular y:
y = sin^2 x + 2 cdot tan^2 x = 89 + 2 cdot 8 = 89 + 16 = 8 + 1449 = 1529

Resposta

O valor de y é 1529.

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