1. Sabendo-se que e^x=sum0^infty x^nn!, então sum0^infty (-1)^n2^n n! vale
    a) 1raize.
    b) -1e^2.
    c) raize.
    d) 2 e.
    e) -e^2.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda a gente usar a série de Taylor/Maclaurin de
e^x ;=;sumn=0^inftyx^nn!
e quer calcular
sumn=0^infty(-1)^n2^n,n!
Matéria: séries de potência (expansão de e^x).
O que precisamos: reconhecer que (-1)^n2^n = l(-tfrac12r)^n e a definição de e^x.

Passo 2

Vamos reescrever o termo geral:
(-1)^n2^n,n! ;=; l(-tfrac12r)^nn!
Aqui usei a propriedade de potências: (-1)^n/2^n = (-1/2)^n.

Passo 3

Agora o somatório fica
sumn=0^inftyl(-tfrac12r)^nn!
Mas sabemos que, por definição,
e^x ;=;sumn=0^inftyx^nn!
Basta identificar x = -tfrac12.

Passo 4

Logo
sumn=0^infty(-1)^n2^n,n! ;=; e^-1/2
E, para simplificar, escrevemos
e^-1/2 ;=;1e^1/2 ;=;1raize

Resposta

1raize

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