Sabendo que
é uma transformação linear cujo núcleo é dado por
encontre a dimensão da imagem de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre uma transformação linear
e nos dá o núcleo dessa transformação. Nosso objetivo é encontrar a dimensão da imagem de
, que também chamamos de “rank” de
.
Conteúdo envolvido: Transformações lineares, núcleo (kernel) e imagem (imagem/rank).
O que vamos precisar: A relação entre a dimensão do domínio, do núcleo e da imagem de uma transformação linear, conhecida pelo Teorema do Núcleo e Imagem.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o Teorema do Núcleo e Imagem, que diz:
Isso significa que a dimensão do espaço de partida (
) é igual à soma da dimensão do núcleo de
e da dimensão da imagem de
.
Passo 3
No nosso caso, o espaço de partida é
, então:
Precisamos encontrar
. Para isso, vamos primeiro encontrar
.
Passo 4
O núcleo de
é dado por:
Isso significa que todos os vetores no núcleo têm apenas as duas primeiras coordenadas diferentes de zero, e o restante são zeros. Portanto, o núcleo é gerado por dois vetores independentes, por exemplo,
e
.
Passo 5
Assim, a dimensão do núcleo é 2, já que temos dois vetores que formam uma base para ele:
Passo 6
Agora, aplicamos o Teorema do Núcleo e Imagem:
Substituindo os valores que temos:
Passo 7
Isolando
:
Resposta
A dimensão da imagem de
é
.