Dados os subespaços vetoriais W1=(x, y, z) in R^3 mid x+y+z=0, W2=(x, y, z) in R^3 mid x=z e W3=(0,0, z) in R^3 mid z in R, mostre que:
c) R^3=W1+W3.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais em :
A tarefa é mostrar que qualquer vetor em pode ser escrito como a soma de um vetor de e um vetor de . Isso envolve conceitos de subespaços vetoriais e como combiná-los para formar todo o espaço .

Passo 2

Vamos começar pegando um vetor qualquer em v = v1 + v3 . Seja um vetor qualquer. Nosso objetivo é encontrar dois vetores, em e em , tais que:

Passo 3

Sabemos que qualquer vetor em v1 = v - v3 = (x, y, z) - (0, 0, z') = (x, y, z - z') tem a forma , onde é um número real. Vamos assumir essa forma para .
Então, temos:

Passo 4

Agora, precisamos garantir que x + y + z - z' = 0 pertença a z' = x + y + z . Para isso, deve satisfazer a condição . Escrevendo isso:
Podemos resolver essa equação para :

Passo 5

Com v3 = (0, 0, x + y + z) , podemos definir:
v1 = (x, y, z - (x + y + z)) = (x, y, -x - y)
x + y + (-x - y) = 0
Vamos verificar se 0 = 0 está realmente em :
Está tudo certo!

Passo 6

Portanto, qualquer vetor v = v1 + v3 = (x, y, -x - y) + (0, 0, x + y + z) em pode ser escrito como:
Onde e .

Resposta

Assim, mostramos que .

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