Dados os subespaços vetoriais
,
e
, mostre que:
c)
.
c)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos dois subespaços vetoriais em
:
A tarefa é mostrar que qualquer vetor em
pode ser escrito como a soma de um vetor de
e um vetor de
. Isso envolve conceitos de subespaços vetoriais e como combiná-los para formar todo o espaço
.
Passo 2
Vamos começar pegando um vetor qualquer em
. Seja
um vetor qualquer. Nosso objetivo é encontrar dois vetores,
em
e
em
, tais que:
Passo 3
Sabemos que qualquer vetor em
tem a forma
, onde
é um número real. Vamos assumir essa forma para
.
Então, temos:
Passo 4
Agora, precisamos garantir que
pertença a
. Para isso,
deve satisfazer a condição
. Escrevendo isso:
Podemos resolver essa equação para
:
Passo 5
Com
, podemos definir:
Vamos verificar se
está realmente em
:
Está tudo certo!
Passo 6
Portanto, qualquer vetor
em
pode ser escrito como:
Onde
e
.
Resposta
Assim, mostramos que
.