(Sadiku - 5.13) Em uma placa de material dielétrico de varepsilon=2.4 varepsilon0 e V=300 z^2 V , determine:
D e rhov

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede pra gente trabalhar com uma placa de material dielétrico onde a permissividade elétrica é varepsilon = 2.4 varepsilon0 e o potencial elétrico é dado por V = 300 z^2 V. Nosso objetivo aqui é encontrar o campo de deslocamento elétrico, D, e a densidade de carga volumétrica, rhov. Vamos precisar usar conceitos de eletrostática, especificamente relacionados a materiais dielétricos e como eles interagem com campos elétricos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o campo elétrico E está relacionado ao potencial elétrico V pela relação:
E = -nabla V
Nesse caso, como o potencial V é apenas uma função de z, podemos calcular a derivada parcial em relação a z:
Ez = -dVdz = -ddz(300 z^2) = -600 z
Então, o campo elétrico é:
E = -600 z , z

Passo 3

Agora, vamos determinar o campo de deslocamento elétrico D. A relação entre D e E em um material dielétrico é dada por:
D = varepsilon E
Substituindo os valores que temos:
D = 2.4 varepsilon0 times (-600 z) , z = -1440 varepsilon0 z , z

Passo 4

Por fim, precisamos encontrar a densidade de carga volumétrica livre, rhov. Essa densidade está relacionada à divergência do campo de deslocamento elétrico pela equação de Maxwell:
nabla cdot D = rhov
Como D só tem componente na direção z, a divergência se reduz à derivada parcial em relação a z:
rhov = dDzdz = ddz(-1440 varepsilon0 z) = -1440 varepsilon0

Resposta

O campo de deslocamento elétrico é D = -1440 varepsilon0 z , z e a densidade de carga volumétrica é rhov = -1440 varepsilon0 C/m³.

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