(Hayt - 5.16) Uma linha de transmissão coaxial tem condutores internos e externos de raios a e b, respectivamente. Entre os condutores ( a ) existe um meio condutivo cuja condutividade é sigma(rho)=sigma0 / rho, onde sigma0 é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial V0 e o condutor externo está aterrado.
Tomando uma integral de linha apropriada de E, como a encontrada em (b), determine uma expressão para relacionar V0 e I

Passo 1

Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma linha de transmissão coaxial, que tem dois condutores: um interno com raio $ a $ e um externo com raio $ b $. Entre esses condutores, tem um material condutor cuja condutividade depende da distância radial $ \rho $ e é dada por $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, onde $ \sigma_0 $ é uma constante. O condutor interno está com um potencial $ V_0 $ e o externo está aterrado (ou seja, com potencial zero). Nosso objetivo é usar uma integral de linha do campo elétrico $ \mathbf{E} $ para relacionar $ V_0 $ com a corrente $ I $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de eletromagnetismo como campos elétricos, potencial elétrico e condutividade, além de saber como aplicar integrais para resolver o problema.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ está relacionado ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ através da relação:
V
Como estamos lidando com uma simetria coaxial, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ vai depender apenas da distância radial $ \rho $ e será radial, ou seja, aponta diretamente para fora ou para dentro dos condutores. Então, podemos escrever:
E

Passo 3

Agora, vamos pensar na corrente $ I $ que está fluindo através do meio condutor. Pela Lei de Ohm para materiais com condutividade variável, a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é dada por:
I
Como $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, substituímos na equação:
J
A corrente total $ I $ através da superfície cilíndrica de raio $ \rho $ é então:
J = sigma(rho) E
Onde $ L $ é o comprimento da linha de transmissão. Simplificando:
sigma(rho) = sigma0rho
Dessa forma, podemos expressar $ E(\rho) $ em termos de $ I $:
J(rho) = sigma0rho E(rho)

Passo 4

Vamos voltar à expressão do potencial $ V_0 $:
V0
Substituindo $ E(\rho) $ pela expressão que encontramos:
V0 = integrala^b E(rho) , drho
Como $ \frac{I}{2\pi \sigma_0 L} $ é constante em relação a $ \rho $, podemos tirar da integral:
E(rho)
Calculando a integral:
V0 = integrala^b I2pi sigma0 L , drho

Resposta

A relação entre o potencial $ V_0 $ e a corrente $ I $ é:
V0

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