(Hayt - 5.16) Uma linha de transmissão coaxial tem condutores internos e externos de raios a e b, respectivamente. Entre os condutores (
) existe um meio condutivo cuja condutividade é
, onde
é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial
e o condutor externo está aterrado.
Tomando uma integral de linha apropriada de E, como a encontrada em (b), determine uma expressão para relacionar
e I
Tomando uma integral de linha apropriada de E, como a encontrada em (b), determine uma expressão para relacionar
Passo 1
Então, vamos lá! O exercício fala sobre uma linha de transmissão coaxial, que tem dois condutores: um interno com raio $ a $ e um externo com raio $ b $. Entre esses condutores, tem um material condutor cuja condutividade depende da distância radial $ \rho $ e é dada por $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, onde $ \sigma_0 $ é uma constante. O condutor interno está com um potencial $ V_0 $ e o externo está aterrado (ou seja, com potencial zero). Nosso objetivo é usar uma integral de linha do campo elétrico $ \mathbf{E} $ para relacionar $ V_0 $ com a corrente $ I $. Para isso, vamos precisar entender conceitos de eletromagnetismo como campos elétricos, potencial elétrico e condutividade, além de saber como aplicar integrais para resolver o problema.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o potencial elétrico $ V $ está relacionado ao campo elétrico $ \mathbf{E} $ através da relação:
Como estamos lidando com uma simetria coaxial, o campo elétrico $ \mathbf{E} $ vai depender apenas da distância radial $ \rho $ e será radial, ou seja, aponta diretamente para fora ou para dentro dos condutores. Então, podemos escrever:
Passo 3
Agora, vamos pensar na corrente $ I $ que está fluindo através do meio condutor. Pela Lei de Ohm para materiais com condutividade variável, a densidade de corrente $ \mathbf{J} $ é dada por:
Como $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, substituímos na equação:
A corrente total $ I $ através da superfície cilíndrica de raio $ \rho $ é então:
Onde $ L $ é o comprimento da linha de transmissão. Simplificando:
Dessa forma, podemos expressar $ E(\rho) $ em termos de $ I $:
Passo 4
Vamos voltar à expressão do potencial $ V_0 $:
Substituindo $ E(\rho) $ pela expressão que encontramos:
Como $ \frac{I}{2\pi \sigma_0 L} $ é constante em relação a $ \rho $, podemos tirar da integral:
Calculando a integral:
Resposta
A relação entre o potencial $ V_0 $ e a corrente $ I $ é: