(Hayt - 5.16) Uma linha de transmissão coaxial tem condutores internos e externos de raios a e b, respectivamente. Entre os condutores ( a ) existe um meio condutivo cuja condutividade é sigma(rho)=sigma0 / rho, onde sigma0 é uma constante. O condutor interno está carregado com potencial V0 e o condutor externo está aterrado.
Determine uma expressão para a condutância da linha por unidade de comprimento, G.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício trata de linhas de transmissão coaxiais, que são usadas para transmitir sinais elétricos. Aqui, temos um condutor interno de raio $ a $ e um externo de raio $ b $. Entre eles, há um material condutor cuja condutividade varia com a posição radial $ \rho $ de acordo com $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $, onde $ \sigma_0 $ é uma constante. O condutor interno está com potencial $ V_0 $ e o externo está aterrado (potencial zero). Nosso objetivo é encontrar a condutância por unidade de comprimento dessa linha, representada por $ G $.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a condutância $ G $ está relacionada à capacidade da linha de conduzir corrente elétrica entre os condutores. Para encontrá-la, precisamos calcular a resistência elétrica da linha e então usar a relação $ G = \frac{1}{R} $.

Passo 3

A resistência elétrica $ R $ de um material é dada por:
R
onde:
  • $ L $ é o comprimento,
  • $ \sigma $ é a condutividade,
  • $ A $ é a área da seção transversal.
No nosso caso, como estamos lidando com uma linha de transmissão coaxial por unidade de comprimento, consideramos $ L = 1 $. Além disso, a condutividade $ \sigma(\rho) $ varia com $ \rho $, então precisamos integrar ao longo do caminho entre os condutores.

Passo 4

Para uma linha coaxial, a resistência diferencial $ dR $ em um pequeno incremento radial $ d\rho $ é:
dR
Com $ L = 1 $ e substituindo $ \sigma(\rho) = \frac{\sigma_0}{\rho} $:
drho

Passo 5

Agora, para encontrar a resistência total $ R $ entre $ a $ e $ b $, integramos $ dR $ de $ \rho = a $ até $ \rho = b $:
R

Passo 6

Finalmente, a condutância $ G $ é o inverso da resistência $ R $:
G

Resposta

A condutância por unidade de comprimento da linha é:
G = 2pi sigma0b - a

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