O sal sorbato de potássio KC6H7O2 é utilizado na indústria alimentícia para inibir a formação de mofo em queijos. O ácido ascórbico HC6H7O2 é um ácido monoprótico cujo Ka é igual a 1,7.10-5. Considere uma solução contendo 3,75 mols de sorbato de potássio em 1,5 \mathrm{~L} de solução. Qual o pH desta solução?

Passo 1

O enunciado pede o pH de uma solução que contém sorbato de potássio. Informações fornecidas:
  • A substância é o sal \mathrm{KC_6H_7O_2} (sorbato de potássio).
  • O ácido conjugado é o ácido ascórbico \mathrm{HC_6H_7O_2}, um ácido monoprótico com constante de acidez \mathrm{K_a} = 1{,}7\cdot10^{-5}.
  • A quantidade de sal dissolvido é 3{,}75 mol em 1{,}5\\ \mathrm{L} de solução.
    Pergunta que devemos responder: qual o valor do pH dessa solução?

Passo 2

Entendimento qualitativo (sem cálculos ainda): quando um sal formado por um cátion neutro ( \mathrm{K^+}) e a base conjugada de um ácido fraco ( \mathrm{A^-}, aqui \mathrm{C_6H_7O_2^-}) é dissolvido em água, a espécie \mathrm{A^-} reage com a água (hidrolisa) gerando \mathrm{HA} e \mathrm{OH^-}:
\mathrm{A^- + H_2O \rightleftharpoons HA + OH^-}
Isso faz a solução ficar básica. Nosso objetivo é quantificar essa basicidade calculando a concentração de \mathrm{OH^-} no equilíbrio e daí obter o pH.

Passo 3

Cálculo da concentração inicial da base conjugada \mathrm{A^-}. A dissolução completa do sal fornece uma concentração igual a:
[\mathrm{A^-}]_0 = \frac{\text{mols}}{\text{volume}} = \frac{3{,}75}{1{,}5}\\ \mathrm{mol\cdot L^{-1}} = 2{,}5\\ \mathrm{M}.
Portanto a concentração inicial é 2{,}5\\ \mathrm{M}.

Passo 4

Relação entre \mathrm{K_a} do ácido e \mathrm{K_b} da base conjugada. Para um par conjugado monoprótico vale:
\mathrm{K_b}=\frac{K_w}{K_a}.
Usamos K_w = 1{,}0\cdot10^{-14} (água a 25^\circ\mathrm{C}). Logo
\mathrm{K_b}=\frac{1{,}0\cdot10^{-14}}{1{,}7\cdot10^{-5}}.

Passo 5

Cálculo numérico de \mathrm{K_b}:
\mathrm{K_b}=\frac{1{,}0\cdot10^{-14}}{1{,}7\cdot10^{-5}} = \frac{1{,}0}{1{,}7}\cdot10^{-9} \approx 0{,}588235\cdot10^{-9} \approx 5{,}88\cdot10^{-10}.
Portanto \mathrm{K_b}\approx 5{,}88\cdot10^{-10}.

Passo 6

Montagem do equilíbrio de hidrólise. Seja x a concentração de \mathrm{OH^-} gerada no equilíbrio:
\begin{array}{l} \mathrm{A^-}\;+\;\mathrm{H_2O}\rightleftharpoons \mathrm{HA}\;+\;\mathrm{OH^-}\\[4pt] \text{inicial: }[\mathrm{A^-}]=2{,}5,\;[\mathrm{HA}]=0,\;[\mathrm{OH^-}]\approx 0\\[4pt] \text{equilíbrio: }[\mathrm{A^-}]=2{,}5-x,\;[\mathrm{HA}]=x,\;[\mathrm{OH^-}]=x \end{array}í
A expressão da constante é
\mathrm{K_b}=\frac{[\mathrm{HA}][\mathrm{OH^-}]}{[\mathrm{A^-}]}=\frac{x\cdot x}{2{,}5-x}=\frac{x^2}{2{,}5-x}.]

Passo 7

Aproximação: como \mathrm{K_b} é muito pequena e a concentração inicial é relativamente grande, espera-se x\ll2{,}5. Assim aproximamos 2{,}5-x\approx2{,}5 e obtemos
x\approx\sqrt{\mathrm{K_b}\cdot 2{,}5}.
Calculando o produto:
\mathrm{K_b}\cdot 2{,}5 \approx 5{,}88\cdot10^{-10}\times2{,}5 = 1{,}47\cdot10^{-9}.
Logo
x\approx\sqrt{1{,}47\cdot10^{-9}}\approx 3{,}83\cdot10^{-5}\\ \mathrm{M}.
Logo a concentração de \mathrm{OH^-} no equilíbrio é aproximadamente 3{,}83\cdot10^{-5}\\ \mathrm{M}.

Passo 8

Cálculo do pOH e do pH. Definições:
\text{pOH}=-\log_{10}[\mathrm{OH^-}],\qquad \text{pH}=14{,}00-\text{pOH}.
Calculando pOH:
\text{pOH}=-\log_{10}\left(3{,}83\cdot10^{-5}\right) \approx 4{,}42.
Portanto
\text{pH}=14{,}00-4{,}42 \approx 9{,}58.

Passo 9

Verificação da aproximação x\ll2{,}5: razão \dfrac{x}{2{,}5}\approx\dfrac{3{,}83\cdot10^{-5}}{2{,}5}=1{,}53\cdot10^{-5}, que é muito pequena. A aproximação é válida, então o resultado é confiável.

Resposta

\text{pH}\approx 9{,}58

Exercícios relacionados