Em uma sala de aula, a razão entre meninos e meninas é de 3 para 7, nesta ordem. Em agosto,
entraram mais 3 meninos nessa sala, mas uma menina mudou de colégio e isso fez com que a razáo entre meninos e meninas agora fosse de 3 para 5 . O número total de alunos dessa sala, em agosto, após essas mudanças, passou a ser de quanto?
a) 28
b) 30
c) 32
d) 34
e) 36
entraram mais 3 meninos nessa sala, mas uma menina mudou de colégio e isso fez com que a razáo entre meninos e meninas agora fosse de 3 para 5 . O número total de alunos dessa sala, em agosto, após essas mudanças, passou a ser de quanto?
a) 28
b) 30
c) 32
d) 34
e) 36
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
- A razão entre meninos e meninas é de
para (nesta ordem) antes das mudanças. - Em agosto, entraram mais
meninos. - Em agosto, uma menina mudou de colégio (ou seja, saiu
menina). - Depois dessas mudanças, a nova razão entre meninos e meninas passou a ser
para .
O que o problema pede: determinar o número total de alunos da sala em agosto, após essas mudanças (ou seja, o total de meninos mais meninas depois das alterações).
Passo 2
Como trabalhar com razões: quando dizemos que a razão entre meninos e meninas é
, isso significa que os números reais podem ser escritos como múltiplos desses coeficientes. Introduzimos uma incógnita inteira positiva
que representa esse “fator comum”. Assim:
- número inicial de meninos
, - número inicial de meninas
.
Explicação rápida do porquê: razões indicam proporção; qualquer par de números na razãoé da forma e para algum .
Passo 3
Agora expressamos as quantidades após as mudanças em agosto usando o mesmo
:
- depois das entradas, meninos
(entraram meninos), - depois da saída, meninas
(uma menina saiu).
Passo 4
Usamos a informação de que a nova razão é
. Isso dá a equação que relaciona as quantidades após as mudanças:
Explicação do método: igualar duas razões e resolver a equação resultante. Para resolver essa igualdade de frações usamos multiplicação cruzada (cross-multiplication), que diz que se
então
.
Passo 5
Aplicando multiplicação cruzada à equação do passo anterior:
Agora vamos desenvolver ambos os lados e resolver para
.
Passo 6
Desenvolvendo e isolando
:
Igualando:
Passo a passo para isolar
: subtrai
dos dois lados e soma
aos dois lados:
Portanto
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora substituímos
nas expressões das quantidades após as mudanças:
- meninos em agosto:
, - meninas em agosto:
.
Total de alunos em agostomeninos meninas .
Passo 8
Verificação rápida: a razão
simplificada divide ambos por
, resulta em
, que confere com o enunciado. Além disso
saiu inteiro (como devia), então a solução é consistente.
Resposta
32