Em uma sala de aula, a razão entre meninos e meninas é de 3 para 7, nesta ordem. Em agosto,
entraram mais 3 meninos nessa sala, mas uma menina mudou de colégio e isso fez com que a razáo entre meninos e meninas agora fosse de 3 para 5 . O número total de alunos dessa sala, em agosto, após essas mudanças, passou a ser de quanto?
a) 28
b) 30
c) 32
d) 34
e) 36

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • A razão entre meninos e meninas é de 3 para 7 (nesta ordem) antes das mudanças.
  • Em agosto, entraram mais 3 meninos.
  • Em agosto, uma menina mudou de colégio (ou seja, saiu 1 menina).
  • Depois dessas mudanças, a nova razão entre meninos e meninas passou a ser 3 para 5.
    O que o problema pede: determinar o número total de alunos da sala em agosto, após essas mudanças (ou seja, o total de meninos mais meninas depois das alterações).

Passo 2

Como trabalhar com razões: quando dizemos que a razão entre meninos e meninas é 3:7, isso significa que os números reais podem ser escritos como múltiplos desses coeficientes. Introduzimos uma incógnita inteira positiva \;k\; que representa esse “fator comum”. Assim:
  • número inicial de meninos = 3k,
  • número inicial de meninas = 7k.
    Explicação rápida do porquê: razões indicam proporção; qualquer par de números na razão 3:7 é da forma 3k e 7k para algum k.

Passo 3

Agora expressamos as quantidades após as mudanças em agosto usando o mesmo k:
  • depois das entradas, meninos = 3k + 3 (entraram 3 meninos),
  • depois da saída, meninas = 7k - 1 (uma menina saiu).

Passo 4

Usamos a informação de que a nova razão é 3:5. Isso dá a equação que relaciona as quantidades após as mudanças:
\frac{3k+3}{7k-1}=\frac{3}{5}.
Explicação do método: igualar duas razões e resolver a equação resultante. Para resolver essa igualdade de frações usamos multiplicação cruzada (cross-multiplication), que diz que se \dfrac{a}{b}=\dfrac{c}{d} então a d = b c.

Passo 5

Aplicando multiplicação cruzada à equação do passo anterior:
5(3k+3)=3(7k-1).
Agora vamos desenvolver ambos os lados e resolver para k.

Passo 6

Desenvolvendo e isolando k:
5(3k+3)=15k+15,
3(7k-1)=21k-3.
Igualando:
15k+15=21k-3.
Passo a passo para isolar k: subtrai 15k dos dois lados e soma 3 aos dois lados:
15+3=21k-15k.
Portanto
18=6k.
Dividindo ambos os lados por 6:
k=3.

Passo 7

Agora substituímos \;k=3\; nas expressões das quantidades após as mudanças:
  • meninos em agosto: 3k+3 = 3\cdot 3 + 3 = 9 + 3 = 12,
  • meninas em agosto: 7k-1 = 7\cdot 3 - 1 = 21 - 1 = 20.
    Total de alunos em agosto = meninos + meninas = 12 + 20 = 32.

Passo 8

Verificação rápida: a razão 12:20 simplificada divide ambos por 4, resulta em 3:5, que confere com o enunciado. Além disso k saiu inteiro (como devia), então a solução é consistente.

Resposta

32

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