O salário de Carmelino no mês
é
. Sua renda mensal é formada pelo salário e pelos juros de suas aplicações financeiras. Ele poupa anualmente
de sua renda e investe sua poupança a juros mensais de taxa
. Determine a renda de Carmelino no mês
.
Passo 1
O enunciado dá o salário mensal
e diz que a renda mensal
de Carmelino é a soma do salário
com os juros mensais dos seus investimentos, à taxa
. Ele poupa uma fração
da renda de cada mês e aplica essa poupança a juros mensais
. Nosso objetivo é determinar
em função de
,
,
,
e
.
Passo 2
Vamos chamar de
o capital acumulado ao fim do mês
. Em cada mês:
- O capital
rende juros , gerando . - Ele poupa
da renda e esse valor é acrescentado ao capital.
Logo, temos os dois relacionamentos
Passo 3
Para eliminar
, observe que no mês
vale
Também
Substituindo em
, obtemos
Como
, segue a recorrência
Passo 4
Defina
então
com condição inicial
Essa é uma recorrência linear de primeira ordem. A solução geral é
onde
é uma solução particular constante. Para achar
, faça
Passo 5
Fica então
Impondo
, obtemos
Portanto a fórmula fechada é: