O salário de Carmelino no mês n é S_{n}=a+b n. Sua renda mensal é formada pelo salário e pelos juros de suas aplicações financeiras. Ele poupa anualmente 1 / p de sua renda e investe sua poupança a juros mensais de taxa i. Determine a renda de Carmelino no mês n.

Passo 1

O enunciado dá o salário mensal
S_{n}=a + b\,n
e diz que a renda mensal R_{n} de Carmelino é a soma do salário S_{n} com os juros mensais dos seus investimentos, à taxa i. Ele poupa uma fração \tfrac{1}{p} da renda de cada mês e aplica essa poupança a juros mensais i. Nosso objetivo é determinar R_{n} em função de n, a, b, p e i.

Passo 2

Vamos chamar de K_{n} o capital acumulado ao fim do mês n. Em cada mês:
  1. O capital K_{n-1} rende juros i, gerando i\,K_{n-1}.
  2. Ele poupa \tfrac{1}{p} da renda R_{n} e esse valor é acrescentado ao capital.
    Logo, temos os dois relacionamentos
R_{n} = S_{n} + i\,K_{n-1},
K_{n} = K_{n-1} + \frac{1}{p}\,R_{n}.

Passo 3

Para eliminar K, observe que no mês n-1 vale
R_{n-1} = S_{n-1} + i\,K_{n-2} \quad\Longrightarrow\quad i\,K_{n-2} = R_{n-1} - S_{n-1}.
Também
i\,K_{n-1} = i\bigl(K_{n-2} + \tfrac{1}{p}R_{n-1}\bigr) = \bigl(R_{n-1}-S_{n-1}\bigr) + \frac{i}{p}\,R_{n-1}.
Substituindo em R_{n}=S_{n}+i\,K_{n-1}, obtemos
R_{n} = S_{n} + \bigl(R_{n-1}-S_{n-1}\bigr) + \frac{i}{p}\,R_{n-1} = R_{n-1} + \bigl(S_{n}-S_{n-1}\bigr) + \frac{i}{p}\,R_{n-1}.
Como S_{n}-S_{n-1}=b, segue a recorrência
R_{n} = \Bigl(1+\frac{i}{p}\Bigr)\,R_{n-1} + b.

Passo 4

Defina
q = 1 + \frac{i}{p},
então
R_{n} = q\,R_{n-1} + b,
com condição inicial
R_{1} = S_{1} = a + b.
Essa é uma recorrência linear de primeira ordem. A solução geral é
R_{n} = C\,q^{\,n-1} + R_{\text{par}},
onde R_{\text{par}} é uma solução particular constante. Para achar R_{\text{par}}, faça
R_{\text{par}} = q\,R_{\text{par}} + b \quad\Longrightarrow\quad R_{\text{par}}\bigl(1-q\bigr) = b \quad\Longrightarrow\quad R_{\text{par}} = -\frac{b}{q-1} = -\frac{b}{\tfrac{i}{p}} = -\frac{p\,b}{i}.

Passo 5

Fica então
R_{n} = C\,q^{\,n-1} - \frac{p\,b}{i}.
Impondo R_{1}=a+b, obtemos
a + b = C\,q^{0} - \frac{p\,b}{i} \quad\Longrightarrow\quad C = a + b + \frac{p\,b}{i}.
Portanto a fórmula fechada é:

Resposta

\boxed{ R_{n} = \Bigl(a + b + \frac{p\,b}{i}\Bigr) \Bigl(1 + \frac{i}{p}\Bigr)^{\,n-1} - \frac{p\,b}{i}. }

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