São dadas duas cascas cilíndricas condutoras isoladas delgadas e coaxiais. Ambas têm cargas uniformemente distribuídas nelas. A casca interna tem raio
e a externa tem raio
. A casca interna tem densidade linear de carga
e a casca externa tem
. Qual a diferença de pontencial
entre as cascas?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá duas cascas cilíndricas condutoras, coaxiais e delgadas, com raios
(interna) e
(externa). As cargas estão distribuídas nas superfícies: a casca interna tem densidade linear de carga
(isto é, carga total por unidade de comprimento
) e a casca externa tem densidade linear
. O que se pede é a diferença de potencial entre as superfícies das cascas,
Informações relevantes do enunciado:
- Raios:
(interna) e (externa). - Densidades lineares: casca interna
, casca externa . - As cascas são condutoras delgadas e coaxiais (portanto carga fica nas superfícies circulares).
- Queremos
.
Passo 2
Escolha do método e conceitos usados (explicado devagar): para encontrar diferença de potencial entre superfícies cilíndricas coaxiais, o jeito mais direto é:
- Usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico
na região entre as cascas ( ). Vou considerar uma “porção” de comprimento do sistema e usar cargas por unidade de comprimento; é comum fixar para trabalhar com densidade linear. - A diferença de potencial entre dois raios
e em um campo radial é dada por
Explicando a Lei de Gauss (aula curta): a forma integral da Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga envolvida dividida por
:
Para simetria cilíndrica escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio
e comprimento
. A área lateral dessa superfície é
. Como
é radial e uniforme na superfície lateral, o lado lateral dá o fluxo
. As tampas não contribuem porque
é paralelo às tampas. Assim
Aqui
é a carga total dentro do cilindro de raio
e comprimento
. Para trabalhar com densidade linear, usamos
.
Passo 3
Aplicando Gauss entre as cascas (
): quais cargas estão dentro da superfície gaussiana? A casca externa em
está fora para
, então só a casca interna contribui. A casca interna tem densidade linear
, logo
Substituímos na equação de Gauss com
(por unidade de comprimento):
Isolando
:
Comentário físico rápido: este é o mesmo formato do campo de uma linha infinita de carga (
), mas aqui a carga efetiva por unidade de comprimento dentro do cilindro é
, por isso o fator.
Passo 4
Calcular
integrando
entre
e
. Usamos
Como
é radial para fora e escolhemos
radial também,
. Substituindo
obtemos
Fazendo a integral (lembre:
):
Usando propriedade dos logaritmos
, temos
Interpretação física curta: como a carga líquida dentro da região é positiva (
), o campo aponta para fora e o potencial decresce ao sair; portanto
e a diferença é positiva se escrita como
(pois
dá ln negativo, mas o sinal da expressão acima já está correto — veja a forma final).
Passo 5
Verificação rápida de consistência e comparação com as alternativas: a expressão obtida é
que coincide com a alternativa (B).
Resposta
(B)