São dadas duas cascas cilíndricas condutoras isoladas delgadas e coaxiais. Ambas têm cargas uniformemente distribuídas nelas. A casca interna tem raio a e a externa tem raio b. A casca interna tem densidade linear de carga 2 \lambda e a casca externa tem -\lambda. Qual a diferença de pontencial V(a)-V(b) entre as cascas?
(A) \frac{\lambda}{\pi \epsilon_{0}} \ln \frac{b}{a}
(B) \frac{\lambda}{\pi \epsilon_{0}} \ln \frac{a}{b}
(C) \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0}}\left[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right]
(D) \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \frac{b}{a}
(E) \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \frac{a}{b}

Passo 1

O enunciado dá duas cascas cilíndricas condutoras, coaxiais e delgadas, com raios \,a (interna) e \,b (externa). As cargas estão distribuídas nas superfícies: a casca interna tem densidade linear de carga \,2\lambda (isto é, carga total por unidade de comprimento =2\lambda) e a casca externa tem densidade linear -\lambda. O que se pede é a diferença de potencial entre as superfícies das cascas,
V(a)-V(b).
Informações relevantes do enunciado:
  • Raios: \,a (interna) e \,b (externa).
  • Densidades lineares: casca interna \,2\lambda, casca externa -\lambda.
  • As cascas são condutoras delgadas e coaxiais (portanto carga fica nas superfícies circulares).
  • Queremos \,V(a)-V(b).

Passo 2

Escolha do método e conceitos usados (explicado devagar): para encontrar diferença de potencial entre superfícies cilíndricas coaxiais, o jeito mais direto é:
  1. Usar a Lei de Gauss para obter o campo elétrico \mathbf{E}(r) na região entre as cascas ( a<r<b). Vou considerar uma “porção” de comprimento L do sistema e usar cargas por unidade de comprimento; é comum fixar L=1 para trabalhar com densidade linear.
  2. A diferença de potencial entre dois raios r_1 e r_2 em um campo radial é dada por
V(r_1)-V(r_2) = -\int_{r_1}^{r_2} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}.
Explicando a Lei de Gauss (aula curta): a forma integral da Lei de Gauss diz que o fluxo elétrico total através de uma superfície fechada vale a carga envolvida dividida por \epsilon_0:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Para simetria cilíndrica escolhemos uma superfície gaussiana cilíndrica coaxial de raio r e comprimento L. A área lateral dessa superfície é 2\pi r L. Como \mathbf{E} é radial e uniforme na superfície lateral, o lado lateral dá o fluxo E(r)\,2\pi r L. As tampas não contribuem porque \mathbf{E} é paralelo às tampas. Assim
E(r)\,2\pi r L = \frac{Q_{\text{int}}}{\epsilon_0}.
Aqui Q_{\text{int}} é a carga total dentro do cilindro de raio r e comprimento L. Para trabalhar com densidade linear, usamos Q_{\text{int}} = \lambda_{\text{enc}} L.

Passo 3

Aplicando Gauss entre as cascas ( a<r<b): quais cargas estão dentro da superfície gaussiana? A casca externa em r=b está fora para r<b, então só a casca interna contribui. A casca interna tem densidade linear 2\lambda, logo
\lambda_{\text{enc}} = 2\lambda.
Substituímos na equação de Gauss com L=1 (por unidade de comprimento):
E(r)\,2\pi r = \frac{2\lambda}{\epsilon_0}.
Isolando E(r):
E(r) = \frac{2\lambda}{2\pi\epsilon_0\, r} = \frac{\lambda}{\pi\epsilon_0}\,\frac{1}{r},\qquad a<r<b.
Comentário físico rápido: este é o mesmo formato do campo de uma linha infinita de carga ( E\propto 1/r), mas aqui a carga efetiva por unidade de comprimento dentro do cilindro é 2\lambda, por isso o fator.

Passo 4

Calcular \,V(a)-V(b) integrando E entre a e b. Usamos
V(a)-V(b) = -\int_{a}^{b} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}.
Como \mathbf{E} é radial para fora e escolhemos d\mathbf{r} radial também, \mathbf{E}\cdot d\mathbf{r}=E(r)\,dr. Substituindo E(r)=\dfrac{\lambda}{\pi\epsilon_0}\dfrac{1}{r} obtemos
V(a)-V(b) = -\int_{a}^{b} \frac{\lambda}{\pi\epsilon_0}\,\frac{1}{r}\,dr.
Fazendo a integral (lembre: \int \frac{1}{r}dr = \ln r):
V(a)-V(b) = -\frac{\lambda}{\pi\epsilon_0}\big[\ln r\big]_{r=a}^{r=b} = -\frac{\lambda}{\pi\epsilon_0}\big(\ln b - \ln a\big).
Usando propriedade dos logaritmos \ln b - \ln a = \ln\!\frac{b}{a}, temos
V(a)-V(b) = -\frac{\lambda}{\pi\epsilon_0}\ln\!\frac{b}{a} = \frac{\lambda}{\pi\epsilon_0}\ln\!\frac{a}{b}.
Interpretação física curta: como a carga líquida dentro da região é positiva ( 2\lambda), o campo aponta para fora e o potencial decresce ao sair; portanto V(a)>V(b) e a diferença é positiva se escrita como \ln\frac{a}{b} (pois \frac{a}{b}<1 dá ln negativo, mas o sinal da expressão acima já está correto — veja a forma final).

Passo 5

Verificação rápida de consistência e comparação com as alternativas: a expressão obtida é
\frac{\lambda}{\pi\epsilon_0}\ln\!\frac{a}{b},
que coincide com a alternativa (B).

Resposta

(B) \displaystyle \frac{\lambda}{\pi \epsilon_{0}} \ln \frac{a}{b}

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