No centro de uma casca grossa esférica condutora isolada de raio interno
e raio externo
há uma partícula puntual de carga
, enquanto na casca condutora há uma carga
. A densidade superficial de carga na superfície externa da casca é:
(A)
(B)
(C)
(D) 0 (E)
(A)
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
- Há uma casca esférica condutora, isolada, com raio interno
e raio externo . - No centro da cavidade (no centro da casca) existe uma carga pontual de valor
. - A própria casca condutora tem carga total
(essa é a carga líquida do material condutor). - Pergunta: qual é a densidade superficial de carga na superfície externa da casca?
Passo 2
Propriedades importantes de condutores em equilíbrio eletrostático (explicadas de forma simples):
- Cargas livres num condutor se movem até que o campo elétrico dentro do material condutor seja nulo. Ou seja, em qualquer ponto do volume do condutor temos
. - Por consequência, qualquer carga líquida presente no condutor aparece sobre as superfícies (superfície interna da cavidade e superfície externa), não no volume.
- Se houver uma cavidade com uma carga no interior, cargas induzidas aparecem na superfície interna da cavidade de modo a anular o campo dentro do material do condutor.
Essas propriedades são consequências diretas do comportamento das cargas livres em condutores e podem ser usadas com a Lei de Gauss para determinar quantidades de carga induzida.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície esférica imaginária de raio
tal que
(ou seja, uma superfície dentro do material do condutor, entre as superfícies interna e externa):
- A Lei de Gauss diz
onde
é a carga total dentro da superfície gaussiana e
é a permissividade do vácuo.
- Como estamos dentro do material do condutor,
ali, então o fluxo é zero e portanto . - O que está contido dentro dessa superfície gaussiana? A carga pontual
localizada no centro e a carga que possa estar na superfície interna da cavidade (vamos chamar essa carga de ). - Logo,
- Daqui obtemos
Explicação em palavras: a superfície interna precisa ter carga
para que o campo no material do condutor seja zero.
Passo 4
Agora usamos a informação de que a casca condutora tem carga total
. Essa carga total é a soma das cargas nas duas superfícies do condutor (interna e externa). Chamando
a carga da superfície externa, temos:
Substituindo
,
Resolvendo para
,
Ou seja, a superfície externa carrega
no total.
Passo 5
Distribuição dessa carga na superfície externa e densidade superficial:
- Como a carga pontual
está exatamente no centro da cavidade, o problema tem simetria esférica. Essa simetria garante que a carga na superfície externa fica distribuída de forma uniforme sobre a esfera de raio . - A área da superfície esférica externa é
. - Logo a densidade superficial de carga
na superfície externa é a carga total na superfície externa dividida pela área:
Passo 6
Resumo e checagem rápida: indução na superfície interna
(para anular o campo no condutor), carga total do condutor
leva a
na superfície externa, e por simetria essa
fica uniformemente distribuída sobre a área
, resultando em
. Isso corresponde à alternativa correta.