No centro de uma casca grossa esférica condutora isolada de raio interno a e raio externo b há uma partícula puntual de carga 2 q, enquanto na casca condutora há uma carga q. A densidade superficial de carga na superfície externa da casca é:
(A) q /\left(4 \pi a^{2}\right) (B) 3 q /\left(\pi b^{2}\right) (C) q /\left(4 \pi b^{2}\right) (D) 0 (E) 3 q /\left(4 \pi b^{2}\right)

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pergunta o seguinte:
  • Há uma casca esférica condutora, isolada, com raio interno a e raio externo b.
  • No centro da cavidade (no centro da casca) existe uma carga pontual de valor 2q.
  • A própria casca condutora tem carga total q (essa é a carga líquida do material condutor).
  • Pergunta: qual é a densidade superficial de carga na superfície externa da casca?

Passo 2

Propriedades importantes de condutores em equilíbrio eletrostático (explicadas de forma simples):
  • Cargas livres num condutor se movem até que o campo elétrico dentro do material condutor seja nulo. Ou seja, em qualquer ponto do volume do condutor temos \mathbf{E}=\mathbf{0}.
  • Por consequência, qualquer carga líquida presente no condutor aparece sobre as superfícies (superfície interna da cavidade e superfície externa), não no volume.
  • Se houver uma cavidade com uma carga no interior, cargas induzidas aparecem na superfície interna da cavidade de modo a anular o campo dentro do material do condutor.
Essas propriedades são consequências diretas do comportamento das cargas livres em condutores e podem ser usadas com a Lei de Gauss para determinar quantidades de carga induzida.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss para uma superfície esférica imaginária de raio r tal que a<r<b (ou seja, uma superfície dentro do material do condutor, entre as superfícies interna e externa):
  • A Lei de Gauss diz
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde Q_{\text{enc}} é a carga total dentro da superfície gaussiana e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo.
  • Como estamos dentro do material do condutor, \mathbf{E}=\mathbf{0} ali, então o fluxo é zero e portanto Q_{\text{enc}}=0.
  • O que está contido dentro dessa superfície gaussiana? A carga pontual 2q localizada no centro e a carga que possa estar na superfície interna da cavidade (vamos chamar essa carga de Q_{\text{interna}}).
  • Logo,
2q + Q_{\text{interna}} = 0.
  • Daqui obtemos
Q_{\text{interna}} = -2q.
Explicação em palavras: a superfície interna precisa ter carga -2q para que o campo no material do condutor seja zero.

Passo 4

Agora usamos a informação de que a casca condutora tem carga total q. Essa carga total é a soma das cargas nas duas superfícies do condutor (interna e externa). Chamando Q_{\text{externa}} a carga da superfície externa, temos:
Q_{\text{interna}} + Q_{\text{externa}} = q.
Substituindo Q_{\text{interna}}=-2q,
-2q + Q_{\text{externa}} = q.
Resolvendo para Q_{\text{externa}},
Q_{\text{externa}} = q + 2q = 3q.
Ou seja, a superfície externa carrega 3q no total.

Passo 5

Distribuição dessa carga na superfície externa e densidade superficial:
  • Como a carga pontual 2q está exatamente no centro da cavidade, o problema tem simetria esférica. Essa simetria garante que a carga na superfície externa fica distribuída de forma uniforme sobre a esfera de raio b.
  • A área da superfície esférica externa é 4\pi b^{2}.
  • Logo a densidade superficial de carga \sigma na superfície externa é a carga total na superfície externa dividida pela área:
\sigma = \frac{Q_{\text{externa}}}{4\pi b^{2}} = \frac{3q}{4\pi b^{2}}.

Passo 6

Resumo e checagem rápida: indução na superfície interna -2q (para anular o campo no condutor), carga total do condutor q leva a 3q na superfície externa, e por simetria essa 3q fica uniformemente distribuída sobre a área 4\pi b^{2}, resultando em \sigma=\dfrac{3q}{4\pi b^{2}}. Isso corresponde à alternativa correta.

Resposta

\displaystyle \frac{3q}{4\pi b^{2}}

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