Numa dada região do espaço o campo elétrico é uniforme e é \vec{E}=\frac{E_{0}}{\sqrt{2}}(\hat{\imath}-\hat{\jmath}). Qual o fluxo elétrico sobre a superfície plana de vetor área \vec{A}=A(\operatorname{sen} \theta \cos \varphi \hat{\imath}+\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi \hat{\jmath}+\cos \theta \hat{k})
(A) \frac{E_{0} A}{\sqrt{2}}(\operatorname{sen} \theta \cos \varphi-\cos \theta)
(B) \frac{E_{0} A}{\sqrt{2}} \operatorname{sen} \theta(\cos \varphi-\operatorname{sen} \varphi)
(C) \frac{E_{0} A}{\sqrt{2}} \operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi
(D) E_{0} A
(E) \frac{E_{0} A}{\sqrt{2}}(\operatorname{sen} \theta \cos \varphi+\cos \theta+\operatorname{sen} \theta \operatorname{sen} \varphi)

Passo 1

O enunciado pede o fluxo elétrico sobre uma superfície plana cuja vetor-área é dado. Informações fornecidas:
  • Campo elétrico uniforme: \vec{E}=\dfrac{E_{0}}{\sqrt{2}}\bigl(\hat{\imath}-\hat{\jmath}\bigr).
  • Vetor-área da superfície: \vec{A}=A\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}+\cos\theta\,\hat{k}\bigr).
  • É solicitado calcular o fluxo elétrico \Phi (e escolher a alternativa correta entre (A) a (E)).
    Nada mais é pedido além do valor numérico/algebraico do fluxo.

Passo 2

Conceito chave: fluxo de um campo vetorial uniforme através de uma superfície plana.
  • Para um campo elétrico uniforme \vec{E} e um vetor-área \vec{A} (já com a magnitude da área e a direção normal), o fluxo elétrico é dado pela definição:
\Phi=\vec{E}\cdot\vec{A}.
Expliquei: o produto escalar (ou dot product) combina componentes correspondentes dos vetores; é a soma dos produtos das componentes em cada direção cartesiana. Se \vec{u}=u_x\hat{\imath}+u_y\hat{\jmath}+u_z\hat{k} e \vec{v}=v_x\hat{\imath}+v_y\hat{\jmath}+v_z\hat{k}, então
\vec{u}\cdot\vec{v}=u_x v_x+u_y v_y+u_z v_z.
Isso é tudo o que precisamos usar aqui — simples e direto.

Passo 3

Escrevo explicitamente o produto escalar \Phi=\vec{E}\cdot\vec{A} substituindo os vetores dados:
\Phi=\frac{E_{0}}{\sqrt{2}}\bigl(\hat{\imath}-\hat{\jmath}\bigr)\cdot A\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}+\cos\theta\,\hat{k}\bigr).
Posso factorar constantes A e \dfrac{E_0}{\sqrt{2}}:
\Phi=\frac{E_{0}A}{\sqrt{2}}\; \bigl(\hat{\imath}-\hat{\jmath}\bigr)\cdot\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}+\cos\theta\,\hat{k}\bigr).

Passo 4

Agora calculo o produto escalar dentro dos parênteses componente a componente, usando \hat{\imath}\cdot\hat{\imath}=1, \hat{\jmath}\cdot\hat{\jmath}=1, \hat{k}\cdot\hat{k}=1 e vetores unitários ortogonais tendo produto zero:
\bigl(\hat{\imath}-\hat{\jmath}\bigr)\cdot\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}+\cos\theta\,\hat{k}\bigr)
= \hat{\imath}\cdot\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\dots\bigr)\;-\;\hat{\jmath}\cdot\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}+\dots\bigr).
Detalhando os termos relevantes (os produtos que não anulam):
\hat{\imath}\cdot\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}\bigr)=\sin\theta\cos\varphi,
\hat{\imath}\cdot\bigl(\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}\bigr)=0,
\hat{\imath}\cdot\bigl(\cos\theta\,\hat{k}\bigr)=0,
\hat{\jmath}\cdot\bigl(\sin\theta\cos\varphi\,\hat{\imath}\bigr)=0,
\hat{\jmath}\cdot\bigl(\sin\theta\sin\varphi\,\hat{\jmath}\bigr)=\sin\theta\sin\varphi,
\hat{\jmath}\cdot\bigl(\cos\theta\,\hat{k}\bigr)=0.
Portanto, somando e lembrando do sinal negativo em -\hat{\jmath}:
\bigl(\hat{\imath}-\hat{\jmath}\bigr)\cdot\bigl(\cdots\bigr)=\sin\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi.

Passo 5

Volto ao prefator e escrevo o resultado final do fluxo:
\Phi=\frac{E_{0}A}{\sqrt{2}}\bigl(\sin\theta\cos\varphi-\sin\theta\sin\varphi\bigr).
Fatorando \sin\theta:
\Phi=\frac{E_{0}A}{\sqrt{2}}\sin\theta\bigl(\cos\varphi-\sin\varphi\bigr).

Passo 6

Interpretação final e checagem com as alternativas dadas: a expressão obtida
\Phi=\frac{E_{0}A}{\sqrt{2}}\sin\theta\bigl(\cos\varphi-\sin\varphi\bigr)
corresponde exatamente à alternativa (B).

Resposta

(B) \dfrac{E_{0}A}{\sqrt{2}}\sin\theta\bigl(\cos\varphi-\sin\varphi\bigr)

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