São dadas duas cascas cilíndricas condutoras isoladas delgadas e coaxiais. Ambas têm cargas uniformemente distribuídas nelas. A casca interna tem raio a e a externa tem raio b. A casca interna tem densidade linear de carga \lambda e a casca externa tem -2 \lambda. Qual a diferença de pontencial V(a)-V(b) entre as cascas?
(A) \frac{\lambda}{4 \pi \epsilon_{0}}\left[\frac{1}{a}-\frac{1}{b}\right]
(B) \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \frac{a}{b}
(C) \frac{\lambda}{\pi \epsilon_{0}} \ln \frac{a}{b}
(D) \frac{\lambda}{2 \pi \epsilon_{0}} \ln \frac{b}{a}
(E) \frac{\lambda}{\pi \epsilon_{0}} \ln \frac{b}{a}

Passo 1

O enunciado pede a diferença de potencial entre as superfícies das duas cascas cilíndricas condutoras coaxiais: V(a)-V(b).
Informações dadas:
  • Casca interna: raio a, densidade linear de carga \lambda (isto é, carga por unidade de comprimento).
  • Casca externa: raio b, densidade linear de carga -2\lambda.
  • As cascas são condutoras, delgadas, coaxiais e as cargas estão distribuídas uniformemente sobre elas.
  • Queremos a diferença de potencial entre a superfície da casca interna (raio a) e a da casca externa (raio b).

Passo 2

Intuição física e escolha da região de interesse.
  • Por simetria cilíndrica, o campo elétrico \vec{E} gerado por estas cascas depende só da distância radial r ao eixo e aponta radialmente (para fora ou para dentro).
  • Para calcular V(a)-V(b) precisamos do campo na região entre as cascas, ou seja para a<r<b, porque o potencial entre dois pontos é obtido integrando o campo nesse intervalo.
  • Observação importante: a casca externa, estando em r=b, não contribui para o campo em pontos com r<b (princípio da Gauss/teorema do campo de uma casca cilíndrica). Assim, para a<r<b apenas a carga da casca interna está “encerrada” numa superfície gaussiana.

Passo 3

Aplicando a Lei de Gauss para achar \vec{E}(r) em a<r<b.
  • Escolho uma superfície gaussiana: um cilindro coaxial de raio r com a<r<b e comprimento L.
  • A Lei de Gauss diz:
\oint_{\text{superf}} \vec{E}\cdot d\vec{A} = \frac{Q_{\text{enc}}}{\epsilon_0}.
  • O campo é radial e constante sobre a superfície lateral do cilindro, e desprezível sobre as tampas (para um cilindro longo), então o fluxo é E(r)\times área lateral =E(r)\cdot(2\pi r L).
  • A carga total encerrada por essa superfície gaussiana é a carga da casca interna sobre comprimento L, isto é Q_{\text{enc}}=\lambda L.
  • Substituindo na Lei de Gauss:
E(r)\cdot(2\pi r L)=\frac{\lambda L}{\epsilon_0}.
  • Cancelando L e isolando E(r) obtemos:
E(r)=\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r},
e o vetor campo é radial (para fora se \lambda>0).

Passo 4

Explicando a relação entre potencial e campo elétrico.
  • A diferença de potencial entre dois pontos r_1 e r_2 é dada por
V(r_1)-V(r_2) = -\int_{r_1}^{r_2} \vec{E}\cdot d\vec{\ell}.
  • No nosso caso d\vec{\ell} ao longo da direção radial vale d\vec{\ell} = \hat{r}\,dr (positivo para aumentar r), e \vec{E}=E(r)\,\hat{r}. Então \vec{E}\cdot d\vec{\ell}=E(r)\,dr.
  • Aplicamos essa fórmula com r_1=a e r_2=b:
V(a)-V(b) = -\int_{a}^{b} E(r)\,dr.

Passo 5

Substituindo E(r) e calculando a integral passo a passo.
  • Substituindo E(r)=\dfrac{\lambda}{2\pi\epsilon_0 r} na integral:
V(a)-V(b) = -\int_{a}^{b} \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0\,r}\,dr.
  • Factor constante para fora da integral:
V(a)-V(b) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\int_{a}^{b} \frac{1}{r}\,dr.
  • A integral de 1/r é \ln r, logo
\int_{a}^{b} \frac{1}{r}\,dr = \ln b - \ln a = \ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  • Substituindo de volta:
V(a)-V(b) = -\frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{b}{a}\right).
  • Usando a identidade logarítmica \ln\!\left(\frac{b}{a}\right)=-\ln\!\left(\frac{a}{b}\right), obtemos a forma final mais elegante:
V(a)-V(b) = \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_0}\ln\!\left(\frac{a}{b}\right).

Resposta

(B) \displaystyle \frac{\lambda}{2\pi\epsilon_{0}}\ln\frac{a}{b}

Exercícios relacionados