São dadas duas cascas cilíndricas condutoras isoladas delgadas e coaxiais. Ambas têm cargas uniformemente distribuídas nelas. A casca interna tem raio
e a externa tem raio
. A casca interna tem densidade linear de carga
e a casca externa tem
. Qual a diferença de pontencial
entre as cascas?
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado pede a diferença de potencial entre as superfícies das duas cascas cilíndricas condutoras coaxiais:
.
Informações dadas:
Informações dadas:
- Casca interna: raio
, densidade linear de carga (isto é, carga por unidade de comprimento). - Casca externa: raio
, densidade linear de carga . - As cascas são condutoras, delgadas, coaxiais e as cargas estão distribuídas uniformemente sobre elas.
- Queremos a diferença de potencial entre a superfície da casca interna (raio
) e a da casca externa (raio ).
Passo 2
Intuição física e escolha da região de interesse.
- Por simetria cilíndrica, o campo elétrico
gerado por estas cascas depende só da distância radial ao eixo e aponta radialmente (para fora ou para dentro). - Para calcular
precisamos do campo na região entre as cascas, ou seja para , porque o potencial entre dois pontos é obtido integrando o campo nesse intervalo. - Observação importante: a casca externa, estando em
, não contribui para o campo em pontos com (princípio da Gauss/teorema do campo de uma casca cilíndrica). Assim, para apenas a carga da casca interna está “encerrada” numa superfície gaussiana.
Passo 3
Aplicando a Lei de Gauss para achar
em
.
- Escolho uma superfície gaussiana: um cilindro coaxial de raio
com e comprimento . - A Lei de Gauss diz:
- O campo é radial e constante sobre a superfície lateral do cilindro, e desprezível sobre as tampas (para um cilindro longo), então o fluxo é
área lateral . - A carga total encerrada por essa superfície gaussiana é a carga da casca interna sobre comprimento
, isto é . - Substituindo na Lei de Gauss:
- Cancelando
e isolando obtemos:
e o vetor campo é radial (para fora se
).
Passo 4
Explicando a relação entre potencial e campo elétrico.
- A diferença de potencial entre dois pontos
e é dada por
- No nosso caso
ao longo da direção radial vale (positivo para aumentar ), e . Então . - Aplicamos essa fórmula com
e :
Passo 5
Substituindo
e calculando a integral passo a passo.
- Substituindo
na integral:
- Factor constante para fora da integral:
- A integral de
é , logo
- Substituindo de volta:
- Usando a identidade logarítmica
, obtemos a forma final mais elegante:
Resposta
(B)