Numa dada região o potencial elétrico é expresso como
. Encontre o campo elétrico
correspondente.
(A)
e
(B)
e
(C)
e
(D)
e
(E)
e
(A)
(B)
(C)
(D)
(E)
Passo 1
O enunciado dá o potencial elétrico na região e pede o campo elétrico correspondente. Informações fornecidas:
Pergunta: encontrar o vetor campo elétrico
, isto é, determinar as componentes
,
e
. Também foram dadas as alternativas (A) a (E) para escolher.
Passo 2
Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma didática): o campo elétrico
está relacionado ao potencial elétrico
pela relação
Aqui
(lê-se “nabla” ou “gradiente”) é o operador que forma um vetor com as derivadas parciais de
. Em coordenadas cartesianas,
Então
tem componentes
. Fizemos isso porque, fisicamente, o campo aponta na direção de maior diminuição do potencial (por isso o sinal negativo).
Passo 3
Vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
. Relembre a regra: a derivada de
em relação a
é
.
Aplicando termo a termo:
Aplicando termo a termo:
Portanto
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a
. Usamos a mesma ideia:
Logo
Passo 5
E a derivada parcial em relação a
:
Portanto
Passo 6
Juntando as três componentes do gradiente, obtemos
Aplicando a relação
, temos
Interpretação rápida: o sinal negativo inverte as componentes do gradiente — o campo aponta para onde o potencial diminui.
Passo 7
Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com
é a alternativa (C).
Resposta
(C)