Numa dada região o potencial elétrico é expresso como V(x, y, z)=x^{2}+y^{2}-2 z^{2}. Encontre o campo elétrico \vec{E}(\vec{r}) correspondente.
(A) E_{x}=2 x, E_{y}=2 y e E_{z}=4 z
(B) E_{x}=2 x, E_{y}=2 y e E_{z}=-4 z
(C) E_{x}=-2 x, E_{y}=-2 y e E_{z}=4 z
(D) E_{x}=-2(x+y), E_{y}=-2(x+y) e E_{z}=4 z
(E) E_{x}=-2 x, E_{y}=-y e E_{z}=4 z

Passo 1

O enunciado dá o potencial elétrico na região e pede o campo elétrico correspondente. Informações fornecidas:
V(x,y,z)=x^{2}+y^{2}-2z^{2}.
Pergunta: encontrar o vetor campo elétrico \vec{E}(\vec{r}), isto é, determinar as componentes E_{x}, E_{y} e E_{z}. Também foram dadas as alternativas (A) a (E) para escolher.

Passo 2

Conceito-chave que vamos usar (explicado de forma didática): o campo elétrico \vec{E} está relacionado ao potencial elétrico V pela relação
\vec{E}(\vec{r}) = -\nabla V(\vec{r}).
Aqui \nabla (lê-se “nabla” ou “gradiente”) é o operador que forma um vetor com as derivadas parciais de V. Em coordenadas cartesianas,
\nabla = \left(\frac{\partial}{\partial x},\;\frac{\partial}{\partial y},\;\frac{\partial}{\partial z}\right).
Então \nabla V tem componentes \left(\frac{\partial V}{\partial x},\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial V}{\partial z}\right). Fizemos isso porque, fisicamente, o campo aponta na direção de maior diminuição do potencial (por isso o sinal negativo).

Passo 3

Vamos calcular a derivada parcial de V em relação a x. Relembre a regra: a derivada de x^{n} em relação a x é n x^{n-1}.
Aplicando termo a termo:
\frac{\partial}{\partial x}\bigl(x^{2}\bigr)=2x,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^{2}\bigr)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial x}\bigl(-2z^{2}\bigr)=0.
Portanto
\frac{\partial V}{\partial x}=2x.

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y. Usamos a mesma ideia:
\frac{\partial}{\partial y}\bigl(x^{2}\bigr)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(y^{2}\bigr)=2y,\qquad \frac{\partial}{\partial y}\bigl(-2z^{2}\bigr)=0.
Logo
\frac{\partial V}{\partial y}=2y.

Passo 5

E a derivada parcial em relação a z:
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(x^{2}\bigr)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(y^{2}\bigr)=0,\qquad \frac{\partial}{\partial z}\bigl(-2z^{2}\bigr)=-2\cdot 2z=-4z.
Portanto
\frac{\partial V}{\partial z}=-4z.

Passo 6

Juntando as três componentes do gradiente, obtemos
\nabla V = \bigl(2x,\;2y,\;-4z\bigr).
Aplicando a relação \vec{E}=-\nabla V, temos
\vec{E}(\vec{r}) = \bigl(-2x,\;-2y,\;4z\bigr).
Interpretação rápida: o sinal negativo inverte as componentes do gradiente — o campo aponta para onde o potencial diminui.

Passo 7

Comparando com as alternativas dadas, a que coincide com \vec{E}=( -2x,-2y,4z) é a alternativa (C).

Resposta

(C) \;E_{x}=-2x,\;E_{y}=-2y,\;E_{z}=4z

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