São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância capacitiva de 20 \Omega. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso.
i(t)=2 \cdot \operatorname{sen}\left(1000 \cdot t-30^{\circ}\right);

Passo 1

O enunciado dá a corrente e pede a tensão na reatância capacitiva. Informações fornecidas:
\;i(t)=2\cdot \operatorname{sen}\bigl(1000\cdot t-30^{\circ}\bigr).
\;X_C=20\\ \Omega (reatância capacitiva, já em ohms).
Meta: determinar a expressão senoidal de \;v(t) sobre essa reatância.

Passo 2

Vamos transformar para a representação fasorial (complexa) — isto facilita multiplicar pela impedância. Regras essenciais (explicação didática):
  • Uma senoide \;A\operatorname{sen}(\omega t+\varphi) pode ser representada por um fasor de amplitude (pico) \;A\angle\varphi. Aqui trabalhamos com amplitudes de pico, que preservam fase e multiplicações simples.
  • A impedância de uma reatância capacitiva é \;Z_C=-jX_C. O fator -j representa um atraso de 90^\circ (ou seja, multiplicar por -j acrescenta -90^\circ à fase).

Passo 3

Escrevendo o fasor da corrente (usando amplitude de pico):
I = 2\angle -30^{\circ}\\ \text{(A, pico)}.
A impedância da reatância capacitiva é:
Z_C = -j\,20 = 20\angle -90^{\circ}\\ \Omega.

Passo 4

O fasor da tensão é o produto \;V = I\cdot Z_C. Fazendo magnitude e fase separadamente:
  • magnitude: \;|V| = |I|\cdot|Z_C| = 2\cdot 20 = 40;
  • fase: \;\angle V = \angle I + \angle Z_C = -30^{\circ} + (-90^{\circ}) = -120^{\circ}.
    Logo
V = 40\angle -120^{\circ}\\ \text{(V, pico)}.

Passo 5

Voltando ao domínio do tempo: a tensão correspondente é
v(t)=40\cdot \operatorname{sen}\bigl(1000\cdot t -120^{\circ}\bigr).
Interpretação física rápida (útil na prova): a tensão em uma reatância capacitiva fica defasada em -90^{\circ} em relação à corrente; aqui a corrente tinha fase -30^{\circ}, então a tensão tem fase -120^{\circ}, e a amplitude foi escalada por \;X_C=20.

Resposta

v(t)=40\cdot \operatorname{sen}\bigl(1000\cdot t-120^{\circ}\bigr)

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