São dadas a seguir expressões para a corrente ou tensão em uma reatância capacitiva de 20 \Omega. Determine a expressão senoidal para a tensão ou corrente, conforme o caso.
i(t)=-10 \cdot \operatorname{sen}\left(377 \cdot t+90^{\circ}\right).

Passo 1

O enunciado fornece a corrente que atravessa uma reatância capacitiva de 20\\ \Omega:
i(t)=-10\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\cdot t+90^\circ\bigr).
O que se pede: determinar a expressão senoidal para a tensão sobre essa reatância. Dados relevantes listados:
  • A função de tempo da corrente é i(t)=-10\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\cdot t+90^\circ\bigr).
  • A reatância capacitiva tem magnitude X_C=20\\ \Omega.
  • A frequência angular é \omega=377\\ \text{rad/s} (está explícita na expressão).
  • Precisamos achar v(t), a tensão senoidal correspondente.

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): quando temos um elemento puramente reativo (capacitor), a relação entre fasores de tensão e corrente é
\underline{V}=\underline{I}\cdot Z,
onde Z é a impedância do elemento. Para uma reatância capacitiva de magnitude X_C a impedância é
Z_C=-j\,X_C.
Isto significa duas coisas importantes de forma prática:
  • Multiplicar o fasor de corrente por X_C multiplica a amplitude por X_C.
  • Multiplicar por -j corresponde a um deslocamento de fase de -90^\circ (ou seja, a tensão fica defasada -90^\circ em relação à corrente — a tensão “atrasa” 90° em um capacitor).
    Vou usar isso para obter amplitude e fase da tensão.

Passo 3

Passo para extrair a amplitude e a fase da corrente dada (construindo o fasor \underline{I}) e explicar cada escolha:
A corrente é
i(t)=-10\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\cdot t+90^\circ\bigr).
Um detalhe prático com sinais: -10\cdot\operatorname{sen}(\theta)=10\cdot\operatorname{sen}(\theta+180^\circ), porque \operatorname{sen}(\theta+180^\circ)=-\operatorname{sen}\theta. Portanto podemos reescrever
i(t)=10\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\cdot t+270^\circ\bigr).
É comum também usar o ângulo equivalente -90^\circ em vez de 270^\circ (são congruentes módulo 360^\circ). Assim, podemos tomar:
  • amplitude da corrente (valor de pico): I_m=10\\ \text{A},
  • fase da corrente: \varphi_I=-90^\circ (equivalente a 270^\circ).

Passo 4

Calcular a amplitude da tensão usando a relação de magnitudes:
V_m = I_m \cdot X_C.
Substituindo os valores:
V_m = 10 \cdot 20 = 200\\ \text{V}.
Explicação: a tensão de pico sobre a reatância tem magnitude igual ao pico da corrente vezes a magnitude da reatância.

Passo 5

Calcular a fase da tensão sabendo que, para um capacitor, a tensão atrasa a corrente em 90^\circ:
\varphi_V = \varphi_I - 90^\circ.
Substituindo \varphi_I=-90^\circ:
\varphi_V = -90^\circ - 90^\circ = -180^\circ.
Obs.: -180^\circ é equivalente a 180^\circ (são congruentes módulo 360^\circ). Então a tensão tem fase \pm 180^\circ em relação à referência da corrente.

Passo 6

Escrever a expressão no domínio do tempo usando a amplitude e a fase encontradas:
v(t)=V_m\cdot\operatorname{sen}\bigl(\omega t+\varphi_V\bigr)=200\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\cdot t-180^\circ\bigr).
Podemos simplificar usando \operatorname{sen}(\theta-180^\circ)=-\operatorname{sen}\theta, obtendo a forma mais compacta:
v(t)=-200\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\cdot t\bigr).
Ambas as formas são equivalentes; a segunda é frequentemente a mais direta para escrita final.

Resposta

v(t)=-200\cdot\operatorname{sen}\bigl(377\cdot t\bigr)

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