São dados a, b \in \mathbb{R}, com a \neq 0. Para cada número real x, considere as seguintes afirmações:
  1. x=\frac{b}{a} é solução de a x=b
  2. Se a x=b possui solução, esta tem que ser x=\frac{b}{a}
  3. A solução de a x=b é x=\frac{b}{a}
Para cada proposição abaixo, determine qual das afirmações acima lhe corresponde:
a) \forall x, a x=b \Leftrightarrow x=\frac{b}{a}
b) \forall x, x=\frac{b}{a} \Rightarrow a x=b

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados: a,b\in\mathbb{R} com a\neq0.
  • Para um número real arbitrário x são consideradas as três afirmações:
    1. x=\dfrac{b}{a} é solução de a x=b.
    2. Se a x=b possui solução, esta tem que ser x=\dfrac{b}{a}.
    3. A solução de a x=b é x=\dfrac{b}{a}.
  • Pede-se: para cada proposição abaixo determinar qual das afirmações 1,2,3 ela representa:
    a) \forall x,\; a x=b \Leftrightarrow x=\dfrac{b}{a}
    b) \forall x,\; x=\dfrac{b}{a} \Rightarrow a x=b

Passo 2

Explicando os conectivos lógicos e quantificadores que aparecem (mini-aula rápida e bem prática).
  • \forall x significa "para todo x".
  • A implicação P\Rightarrow Q lê-se "se P então Q". É verdadeira sempre que não ocorre P verdadeiro e Q falso ao mesmo tempo.
  • A bicondicional P\Leftrightarrow Q significa que P e Q têm o mesmo valor de verdade: equivale a (P\Rightarrow Q) e (Q\Rightarrow P) simultaneamente.
Aplicando isso ao caso das equações:
  • A fórmula \forall x,\; x=\dfrac{b}{a}\Rightarrow a x=b diz: "para todo x, se x=\dfrac{b}{a} então a x=b". Em linguagem matemática: o número x=\dfrac{b}{a} é sempre uma solução (direção que prova que esse candidato realmente satisfaz a equação).
  • A fórmula \forall x,\; a x=b\Rightarrow x=\dfrac{b}{a} diz: "qualquer x que satisfaça a x=b tem de ser x=\dfrac{b}{a}". Em linguagem natural: a equação não pode ter outro valor de solução diferente de b/a (unicidade).
  • A bicondicional \forall x,\; a x=b\Leftrightarrow x=\dfrac{b}{a} junta as duas: é equivalente a ambas as implicações acima ocorrendo ao mesmo tempo — ou seja, existência (o candidato realmente é solução) e unicidade (não existe outra solução).

Passo 3

Traduzindo as três afirmações 1,2,3 para fórmulas lógicas (forma precisa):
  • Afirmação 1: " x=\dfrac{b}{a} é solução de a x=b". Como sentença sobre um x genérico, isso corresponde a
    \forall x,\; x=\dfrac{b}{a}\Rightarrow a x=b.
    (ou seja: provar que esse candidato realmente satisfaz a equação).
  • Afirmação 2: "Se a x=b possui solução, esta tem que ser x=\dfrac{b}{a}". Isso expressa unicidade da solução. Uma formalização equivalente, mais operacional para comparar com as fórmulas dadas, é
    \forall x,\; a x=b \Rightarrow x=\dfrac{b}{a}.
    (lê-se: qualquer x que satisfaça a x=b é necessariamente b/a). Note que esta forma afirma que não há duas soluções diferentes — resume a ideia de “se existe solução, então ela é essa”.
  • Afirmação 3: "A solução de a x=b é x=\dfrac{b}{a}". Aqui está afirmada a existência e a unicidade juntas. Em formulação compacta:
    \forall x,\; a x=b \Leftrightarrow x=\dfrac{b}{a}.
    (isto é, exatamente a bicondicional para todo x: a equação vale exatamente para x=b/a e só para esse valor).

Passo 4

Analisando a proposição (a):
\forall x,\; a x=b \Leftrightarrow x=\dfrac{b}{a}.
Pela definição de bicondicional, ela equivale à conjunção de duas implicações:
\forall x,\; \bigl(a x=b \Rightarrow x=\dfrac{b}{a}\bigr) \quad\text{e}\quad \forall x,\; \bigl(x=\dfrac{b}{a} \Rightarrow a x=b\bigr).
A primeira implicação é exatamente a descrição que demos para a afirmação 2 (unicidade). A segunda implicação é exatamente a afirmação 1 (o candidato é realmente solução). Como aqui as duas implicações estão simultaneamente presentes, a proposição (a) corresponde à afirmação 3 (existência + unicidade). Portanto
  • a) corresponde à afirmação 3.

Passo 5

Analisando a proposição (b):
\forall x,\; x=\dfrac{b}{a} \Rightarrow a x=b.
Isto é literalmente a implicação que diz que o número x=\dfrac{b}{a} satisfaz a equação, ou seja, que b/a é uma solução. Isso coincide com a formulação que demos para a afirmação 1. Note que (b) não diz nada sobre unicidade ou sobre a existência de outras soluções — apenas garante que b/a funciona como solução. Portanto
  • b) corresponde à afirmação 1.

Passo 6

Resumo conceitual rápido (para gravar na prova):
  • A bicondicional \forall x,\; a x=b\Leftrightarrow x=\dfrac{b}{a} significa "a equação tem solução e essa solução é exatamente b/a" → afirmação 3.
  • A apenas implicação \forall x,\; x=\dfrac{b}{a}\Rightarrow a x=b significa “o número b/a é solução” → afirmação 1.
  • A implicação \forall x,\; a x=b\Rightarrow x=\dfrac{b}{a} significa "qualquer solução tem de ser b/a" → afirmação 2 (unicidade). Note que (a) contém essa implicação como uma de suas partes.

Resposta

a) 3
b) 1

Exercícios relacionados