São dados
, com
. Para cada número real
, considere as seguintes afirmações:
-
é solução de
- Se
possui solução, esta tem que ser
- A solução de
é
Para cada proposição abaixo, determine qual das afirmações acima lhe corresponde:
a)
b)
a)
b)
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
com . -
Para um número real arbitrário
são consideradas as três afirmações: -
é solução de . - Se
possui solução, esta tem que ser . - A solução de
é .
-
-
Pede-se: para cada proposição abaixo determinar qual das afirmações
ela representa:
a)
b)
Passo 2
Explicando os conectivos lógicos e quantificadores que aparecem (mini-aula rápida e bem prática).
-
significa "para todo ". - A implicação
lê-se "se então ". É verdadeira sempre que não ocorre verdadeiro e falso ao mesmo tempo. - A bicondicional
significa que e têm o mesmo valor de verdade: equivale a e simultaneamente.
Aplicando isso ao caso das equações:
- A fórmula
diz: "para todo , se então ". Em linguagem matemática: o número é sempre uma solução (direção que prova que esse candidato realmente satisfaz a equação). - A fórmula
diz: "qualquer que satisfaça tem de ser ". Em linguagem natural: a equação não pode ter outro valor de solução diferente de (unicidade). - A bicondicional
junta as duas: é equivalente a ambas as implicações acima ocorrendo ao mesmo tempo — ou seja, existência (o candidato realmente é solução) e unicidade (não existe outra solução).
Passo 3
Traduzindo as três afirmações
para fórmulas lógicas (forma precisa):
-
Afirmação 1: "
é solução de ". Como sentença sobre um genérico, isso corresponde a (ou seja: provar que esse candidato realmente satisfaz a equação). -
Afirmação 2: "Se
possui solução, esta tem que ser ". Isso expressa unicidade da solução. Uma formalização equivalente, mais operacional para comparar com as fórmulas dadas, é (lê-se: qualquerque satisfaça é necessariamente ). Note que esta forma afirma que não há duas soluções diferentes — resume a ideia de “se existe solução, então ela é essa”. -
Afirmação 3: "A solução de
é ". Aqui está afirmada a existência e a unicidade juntas. Em formulação compacta: (isto é, exatamente a bicondicional para todo: a equação vale exatamente para e só para esse valor).
Passo 4
Analisando a proposição (a):
Pela definição de bicondicional, ela equivale à conjunção de duas implicações:
A primeira implicação é exatamente a descrição que demos para a afirmação
(unicidade). A segunda implicação é exatamente a afirmação
(o candidato é realmente solução). Como aqui as duas implicações estão simultaneamente presentes, a proposição (a) corresponde à afirmação
(existência + unicidade). Portanto
- a) corresponde à afirmação
.
Passo 5
Analisando a proposição (b):
Isto é literalmente a implicação que diz que o número
satisfaz a equação, ou seja, que
é uma solução. Isso coincide com a formulação que demos para a afirmação
. Note que (b) não diz nada sobre unicidade ou sobre a existência de outras soluções — apenas garante que
funciona como solução. Portanto
- b) corresponde à afirmação
.
Passo 6
Resumo conceitual rápido (para gravar na prova):
- A bicondicional
significa "a equação tem solução e essa solução é exatamente " → afirmação . - A apenas implicação
significa “o número é solução” → afirmação . - A implicação
significa "qualquer solução tem de ser " → afirmação (unicidade). Note que (a) contém essa implicação como uma de suas partes.
Resposta
a) 3
b) 1