Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) interpretar em linguagem natural a fórmula
; (2) decidir o valor-verdade dessa fórmula considerando que o universo são os números naturais. As informações dadas são:
- Universo de discurso: conjunto dos números naturais.
- A proposição a analisar é
.
Passo 2
Entendendo o quantificador existencial. A expressão
significa: “existe pelo menos um elemento
no universo tal que
seja verdadeira”. Para provar que
é verdadeira basta encontrar um exemplo concreto (um testemunho)
no universo que satisfaça
. Para provar que é falsa seria necessário mostrar que nenhum elemento do universo satisfaz
— geralmente mais trabalhoso.
Passo 3
Entendendo a fórmula interna e os conectivos. A fórmula dentro do quantificador é
Isto é um “ou” lógico (
) entre duas partes:
- Primeira parte (A):
. - Segunda parte (B):
— um “e” lógico ( ) que exige que ambas as desigualdades ocorram simultaneamente.
Em linguagem natural: "
é menor que
OU (
é menor que
E
é maior que
)."
Passo 4
Analisando a primeira parte
no universo dos naturais. Os números naturais são
ou, na convenção alternativa,
. Em qualquer das convenções existe pelo menos um natural que satisfaz
:
- Se
, então e satisfazem . - Se
, então satisfaz .
Logo a primeira partejá tem testemunho(s) naturais.
Passo 5
Analisando a segunda parte
no universo dos naturais. Ambas as desigualdades juntas significam que
é estritamente maior que
e estritamente menor que
. Entre naturais, o único inteiro que satisfaz isso é
, porque
e
. Então a segunda parte também é satisfatível (por
).
Passo 6
Como a fórmula sob o existencial é uma disjunção
, basta que exista um
que satisfaça
OU um
que satisfaça
. Pelo Passo 4 já encontramos testemunho(s) para
(por exemplo
), e pelo Passo 5 temos testemunho para
(
). Portanto existe pelo menos um natural que torna a fórmula verdadeira. Assim a fórmula existencial é verdadeira.
Passo 7
Exemplo explícito de testemunho (para ficar seguro na prova): escolher
. Verificação:
é verdadeira, então
satisfaz
, logo satisfaz
. Isso já prova
.
Resposta
Existe um número natural
tal que
ou (
e
).
Verdadeira.
Verdadeira.