Interprete cada proposição abaixo (isto é, escreva em linguagem natural) e determine seu valor-verdade. O universo de discurso é o conjunto dos números naturais.
\exists n(n<2 \vee(n<5 \wedge n>3))

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) interpretar em linguagem natural a fórmula \exists n(n<2 \vee (n<5 \wedge n>3)); (2) decidir o valor-verdade dessa fórmula considerando que o universo são os números naturais. As informações dadas são:
  • Universo de discurso: conjunto dos números naturais.
  • A proposição a analisar é \exists n(n<2 \vee (n<5 \wedge n>3)).

Passo 2

Entendendo o quantificador existencial. A expressão \exists n\,\varphi(n) significa: “existe pelo menos um elemento n no universo tal que \varphi(n) seja verdadeira”. Para provar que \exists n\,\varphi(n) é verdadeira basta encontrar um exemplo concreto (um testemunho) n no universo que satisfaça \varphi(n). Para provar que é falsa seria necessário mostrar que nenhum elemento do universo satisfaz \varphi — geralmente mais trabalhoso.

Passo 3

Entendendo a fórmula interna e os conectivos. A fórmula dentro do quantificador é
n<2 \vee (n<5 \wedge n>3).
Isto é um “ou” lógico ( \vee) entre duas partes:
  • Primeira parte (A): n<2.
  • Segunda parte (B): n<5 \wedge n>3 — um “e” lógico ( \wedge) que exige que ambas as desigualdades ocorram simultaneamente.
Em linguagem natural: " n é menor que 2 OU ( n é menor que 5 E n é maior que 3 )."

Passo 4

Analisando a primeira parte n<2 no universo dos naturais. Os números naturais são 0,1,2,3,\dots ou, na convenção alternativa, 1,2,3,\dots. Em qualquer das convenções existe pelo menos um natural que satisfaz n<2:
  • Se 0\in\mathbb{N}, então n=0 e n=1 satisfazem n<2.
  • Se \mathbb{N}=\{1,2,3,\dots\}, então n=1 satisfaz n<2.
    Logo a primeira parte n<2 já tem testemunho(s) naturais.

Passo 5

Analisando a segunda parte n<5 \wedge n>3 no universo dos naturais. Ambas as desigualdades juntas significam que n é estritamente maior que 3 e estritamente menor que 5. Entre naturais, o único inteiro que satisfaz isso é n=4, porque 4>3 e 4<5. Então a segunda parte também é satisfatível (por n=4).

Passo 6

Como a fórmula sob o existencial é uma disjunção A\vee B, basta que exista um n que satisfaça A OU um n que satisfaça B. Pelo Passo 4 já encontramos testemunho(s) para A (por exemplo n=1), e pelo Passo 5 temos testemunho para B ( n=4 ). Portanto existe pelo menos um natural que torna a fórmula verdadeira. Assim a fórmula existencial é verdadeira.

Passo 7

Exemplo explícito de testemunho (para ficar seguro na prova): escolher n=1. Verificação:
1<2
é verdadeira, então 1 satisfaz n<2, logo satisfaz n<2 \vee (n<5 \wedge n>3). Isso já prova \exists n(n<2 \vee (n<5 \wedge n>3)).

Resposta

Existe um número natural n tal que n<2 ou ( n<5 e n>3).
Verdadeira.

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