- Quais são os dois números reais cujo quadrado vale 25 ? Qual deles é a raiz quadrada de 25 ?
Passo 1
O enunciado faz duas perguntas claras:
- Quais são os dois números reais cujo quadrado vale
,? - Qual deles é a raiz quadrada de
,?
Informações dadas:
- O único dado numérico é que o quadrado do número (ou dos números) vale
,; isto é, estamos buscando soluções reais da equação ,.
Passo 2
Entender os conceitos (aula rápida e direta, sem mistério).
- O quadrado de um número real
é , isto é, multiplicar por ele mesmo. - Uma raiz quadrada de um número não negativo
é um número tal que . - Importante: se
então também . Ou seja, quando existem, em geral, duas raízes quadradas numéricas: uma positiva e a sua negativa. - Símbolo usual:
representa a raiz quadrada principal de , que é a raiz não negativa.
Passo 3
Passo algébrico para encontrar os números cujo quadrado é
,.
Escrevemos a equação
Escrevemos a equação
Podemos aplicar o raciocínio direto: tomar a raiz quadrada de ambos os lados, lembrando que isso dá duas possibilidades (positiva e negativa). Assim temos
Como
(a raiz principal), obtemos
isto é,
ou
.
Passo 4
Método alternativo (fatoração) — útil quando estiver de prova e quiser justificar de outra forma.
Partimos de
Partimos de
Reconhecemos uma diferença de quadrados e fatoramos:
Pela propriedade do produto nulo, ou
ou
. Assim
ou
.
Passo 5
Verificação (sempre bom checar).
- Para
: . Confere. - Para
: . Também confere.
Portanto os dois números realmente satisfazem a condição.
Passo 6
Responder à segunda pergunta: qual deles é “a raiz quadrada de
\”?
- Matemática costuma distinguir entre “todas as raízes quadradas” e “a raiz quadrada principal”.
- As duas raízes quadradas de
são e . - A raiz quadrada principal, indicada por
, é a não negativa, isto é, .
Dica de prova: se o enunciado escrever “a raiz quadrada de” sem especificar, normalmente espera-se a raiz principal ; se pedir “todas as raízes” ou “quais são os números cujo quadrado é ”, deve-se dar ambos e .
Passo 7
Exemplinho extra rápido para fixar:
- Se
então . As duas raízes são e ; a raiz principal é .
Força aí — esse tipo de raciocínio é curtinho e cai muito em prova: reconhecer que tomar raiz dá.