Quais são os inteiros que, quando divididos por 5, deixam resto igual
à metade do quociente.

Passo 1

O enunciado pede todos os inteiros n tais que, ao dividirmos n por 5, o resto r seja igual à metade do quociente q.
O conteúdo que vamos usar é o Teorema da Divisão Euclidiana: para todo inteiro n existem únicos inteiros q (quociente) e r (resto) tais que
n = 5q + r,\quad 0 \le r < 5.

Passo 2

Pela condição do problema,
r = \frac{q}{2}.
Como r é inteiro, isso implica que q é par. Então podemos escrever
q = 2k\quad\text{e}\quad r = k
para algum inteiro k.

Passo 3

Substituindo q=2k e r=k em n=5q+r, obtemos
n = 5\,(2k) + k = 10k + k = 11k.

Passo 4

Como o resto r deve satisfazer 0 \le r < 5 e r=k, temos
0 \le k < 5,\quad k\in\{0,1,2,3,4\}.

Passo 5

Para cada k\in\{0,1,2,3,4\}, o valor de n é 11k. Assim,
n \in \{11\cdot0,\;11\cdot1,\;11\cdot2,\;11\cdot3,\;11\cdot4\} = \{0,\,11,\,22,\,33,\,44\}.

Resposta

Os inteiros que satisfazem a condição são 0,\,11,\,22,\,33 e 44.

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