Discuta a paridade
da potência de um número inteiro.
da potência de um número inteiro.
Passo 1
O enunciado pede para discutir como se comporta a paridade (mesmo ou ímpar) de
, onde
é um inteiro e
é um inteiro positivo. Para resolver isso, vamos precisar da definição de número par e ímpar e das propriedades de multiplicação envolvendo pares e ímpares.
Passo 2
Definimos:
Essas são as bases para verificar a paridade de produtos e potências.
Passo 3
Mostramos as duas propriedades básicas de produtos:
- Se
é par e é qualquer inteiro, então
logo
é par.
2. Se e
são ímpares, digamos
e
, então
2. Se
logo
é ímpar.
Passo 4
Usamos indução em
:
Base :
, então a paridade de
é a mesma de
.
Base
Passo indutivo: suponha que para algum
a potência
tenha a mesma paridade de
. Considere
Pelo passo indutivo,
é par se
for par, e ímpar se
for ímpar.
– Se é par, então
é par e, pelo item 1,
é par.
– Se é ímpar, então
é ímpar e, pelo item 2,
é ímpar.
Assim, mantém a paridade de
, encerrando a indução.
– Se
– Se
Assim,
Resposta
Se
é par, então
é par para todo inteiro
.
Se é ímpar, então
é ímpar para todo inteiro
.
Se