Discuta a paridade
da potência de um número inteiro.

Passo 1

O enunciado pede para discutir como se comporta a paridade (mesmo ou ímpar) de \,n^k, onde n é um inteiro e k é um inteiro positivo. Para resolver isso, vamos precisar da definição de número par e ímpar e das propriedades de multiplicação envolvendo pares e ímpares.

Passo 2

Definimos:
\text{\(n\) é par} \quad\Longleftrightarrow\quad n = 2m \text{ para algum inteiro } m,é
\text{\(n\) é ímpar} \quad\Longleftrightarrow\quad n = 2m + 1 \text{ para algum inteiro } m.éí
Essas são as bases para verificar a paridade de produtos e potências.

Passo 3

Mostramos as duas propriedades básicas de produtos:
  1. Se a é par e b é qualquer inteiro, então
a\,b = (2m)\,b = 2\,(m\,b),
logo a\,b é par.
2. Se a e b são ímpares, digamos a=2m+1 e b=2n+1, então
a\,b = (2m+1)(2n+1) = 4mn + 2m + 2n + 1 = 2\,(2mn + m + n) + 1,
logo a\,b é ímpar.

Passo 4

Usamos indução em k:
Base k=1: \;n^1 = n, então a paridade de n^1 é a mesma de n.
Passo indutivo: suponha que para algum k\ge1 a potência n^k tenha a mesma paridade de n. Considere
n^{\,k+1} = n^k \cdot n.
Pelo passo indutivo, n^k é par se n for par, e ímpar se n for ímpar.
– Se n é par, então n^k é par e, pelo item 1, n^k\cdot n é par.
– Se n é ímpar, então n^k é ímpar e, pelo item 2, n^k\cdot n é ímpar.
Assim, n^{k+1} mantém a paridade de n, encerrando a indução.

Resposta

Se n é par, então n^k é par para todo inteiro k\ge1.
Se n é ímpar, então n^k é ímpar para todo inteiro k\ge1.

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