Se A e B são matrizes tais que: A=\left[\begin{array}{l}2 \\\\ 1 \\\ x\end{array}\right] e B=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{array}\right], então para qual valor de x a matriz Y=A^{t} . B será nula?

Passo 1

O enunciado nos dá dois vetores-coluna
A = \begin{pmatrix}2 \\\\ 1 \\\ x\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B = \begin{pmatrix}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{pmatrix}
e pede para encontrar x de modo que Y = A^{t}\cdot B
seja a matriz nula. Aqui vamos usar que multiplicar A^{t} ( 1\times 3) por B ( 3\times 1) equivale ao produto interno, resultando num escalar (matriz 1\times 1).

Passo 2

Escrevendo o produto de forma explícita, temos
A^{t}\cdot B = \begin{pmatrix}2 & 1 & x\end{pmatrix} \begin{pmatrix}1 \\\\ 2 \\\\ 1\end{pmatrix}.

Passo 3

Pelo produto interno,
A^{t}B = 2\cdot1 \;+\; 1\cdot2 \;+\; x\cdot1 = 2 + 2 + x = 4 + x.

Passo 4

Para que Y=A^{t}B seja a matriz nula, precisamos de
4 + x = 0.
Logo,
x = -4.

Resposta

x = -4

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