1. 0 que são os multiplicadores de Lagrange e em que situações são utilizados?

Passo 1

O enunciado pergunta “o que são os multiplicadores de Lagrange e em que situações são utilizados?”, ou seja, é uma questão de otimização com restrição de igualdade em várias variáveis. Vamos primeiro ver a definição formal e depois os cenários em que esse método se aplica.

Passo 2

Para otimizar uma função objetivo f(x), com x\in\mathbb{R}^n, sujeita à restrição de igualdade g(x)=0, define-se a função Lagrangiana
\mathcal{L}(x,\lambda)=f(x)-\lambda\,g(x),
onde \lambda\in\mathbb{R} é o multiplicador de Lagrange. A ideia é incorporar a restrição g(x)=0 diretamente nas equações de condição de ótimo, sem eliminá-la explicitamente.

Passo 3

Os candidatos a ponto extremo condicionado são encontrados impondo
\nabla_x\mathcal{L}(x,\lambda)=0 \quad\text{e}\quad \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \lambda}(x,\lambda)=0.
Na prática, isso gera o sistema
\nabla f(x)=\lambda\,\nabla g(x), \quad g(x)=0.
O multiplicador \lambda ajusta o “peso” da restrição de modo que, no ótimo, o gradiente de f seja paralelo ao gradiente de g.

Passo 4

Geometricamente, \lambda indica a taxa de variação do valor ótimo de f quando a restrição g(x)=0 é ligeiramente relaxada. Esse método é usado sempre que se tem
• uma função f\colon\mathbb{R}^n\to\mathbb{R} a minimizar ou maximizar
• uma ou mais restrições de igualdade g_i(x)=0.
Em problemas com desigualdades, estende-se o raciocínio pelos multiplicadores de Karush–Kuhn–Tucker (KKT).

Resposta

Os multiplicadores de Lagrange são variáveis adicionais \lambda introduzidas numa função Lagrangiana \mathcal{L}(x,\lambda)=f(x)-\lambda\,g(x) para incorporar restrições de igualdade g(x)=0 diretamente nas condições de ótimo. Eles são usados sempre que se deseja otimizar uma função de várias variáveis sob uma ou mais restrições de igualdade, permitindo resolver o sistema \nabla f(x)=\sum_i\lambda_i\nabla g_i(x)
com g_i(x)=0.

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