- 0 que são os multiplicadores de Lagrange e em que situações são utilizados?
Passo 1
O enunciado pergunta “o que são os multiplicadores de Lagrange e em que situações são utilizados?”, ou seja, é uma questão de otimização com restrição de igualdade em várias variáveis. Vamos primeiro ver a definição formal e depois os cenários em que esse método se aplica.
Passo 2
Para otimizar uma função objetivo
, com
, sujeita à restrição de igualdade
, define-se a função Lagrangiana
onde
é o multiplicador de Lagrange. A ideia é incorporar a restrição
diretamente nas equações de condição de ótimo, sem eliminá-la explicitamente.
Passo 3
Os candidatos a ponto extremo condicionado são encontrados impondo
Na prática, isso gera o sistema
O multiplicador
ajusta o “peso” da restrição de modo que, no ótimo, o gradiente de
seja paralelo ao gradiente de
.
Passo 4
Geometricamente,
indica a taxa de variação do valor ótimo de
quando a restrição
é ligeiramente relaxada. Esse método é usado sempre que se tem
• uma função a minimizar ou maximizar
• uma ou mais restrições de igualdade .
Em problemas com desigualdades, estende-se o raciocínio pelos multiplicadores de Karush–Kuhn–Tucker (KKT).
• uma função
• uma ou mais restrições de igualdade
Em problemas com desigualdades, estende-se o raciocínio pelos multiplicadores de Karush–Kuhn–Tucker (KKT).
Resposta
Os multiplicadores de Lagrange são variáveis adicionais
introduzidas numa função Lagrangiana
para incorporar restrições de igualdade
diretamente nas condições de ótimo. Eles são usados sempre que se deseja otimizar uma função de várias variáveis sob uma ou mais restrições de igualdade, permitindo resolver o sistema
com .
com