1. Dada a função f(x, y)=y \cdot e^{-x y}, calcule a derivada direcional no ponto (0,2) na direção do vetor unitário \mathrm{u}=(3 / 5,4 / 5).

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=y\,e^{-x y}
e pede a derivada direcional de f no ponto (0,2) na direção do vetor unitário
\mathbf{u}=\bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr).
Para isso, vamos usar que a derivada direcional de f em (0,2) na direção \mathbf{u} é
D_{\mathbf{u}}f(0,2)=\nabla f(0,2)\cdot \mathbf{u},
onde \nabla f é o gradiente de f.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais de f.
A derivada parcial de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = y \;\frac{d}{dx}\bigl(e^{-xy}\bigr) = y \bigl(-y\,e^{-xy}\bigr) = -y^2\,e^{-xy}.
A derivada parcial de f em relação a y é
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) = \frac{d}{dy}\bigl(y\bigr)\,e^{-xy} + y \;\frac{d}{dy}\bigl(e^{-xy}\bigr) = e^{-xy} + y\bigl(-x\,e^{-xy}\bigr) = e^{-xy}\,(1 - x y).

Passo 3

Avaliar as parciais em (0,2).
\frac{\partial f}{\partial x}(0,2) = -2^2\,e^{0} = -4,
\frac{\partial f}{\partial y}(0,2) = e^{0}\,(1 - 0\cdot 2) = 1.
Logo
\nabla f(0,2)=(-4,\;1).

Passo 4

Fazer o produto interno de \nabla f(0,2) com \mathbf{u}.
D_{\mathbf{u}}f(0,2) = (-4,\;1)\cdot\bigl(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\bigr) = -4\cdot\tfrac{3}{5} + 1\cdot\tfrac{4}{5} = -\tfrac{12}{5} + \tfrac{4}{5} = -\tfrac{8}{5}.

Resposta

-\tfrac{8}{5}.

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