Quais são os níveis nas entradas de um somador-completo que produz as seguintes saídas:
\Sigma=1, Cout =1

Passo 1

O enunciado pede: dadas as saídas do somador-completo \Sigma=1 e C_{\text{out}}=1, determinar os níveis (valores 0/1) nas três entradas do somador-completo.
As entradas são A, B e C_{\text{in}}. Queremos achar todas as combinações de (A,B,C_{\text{in}}) que geram \Sigma=1 e C_{\text{out}}=1.

Passo 2

Vamos lembrar as fórmulas e o significado de cada saída:
  • A saída soma é \Sigma. Para um somador completo valem as duas relações equivalentes:
\Sigma = A \oplus B \oplus C_{\text{in}}
(onde \oplus é XOR — soma módulo 2). Isso significa que \Sigma=1 se e só se houver um número ímpar de entradas iguais a 1 (ou seja, 1 ou 3 entradas em nível 1).
  • A saída de transporte é C_{\text{out}}. Uma forma comum de escrevê-la é
C_{\text{out}} = A B + A C_{\text{in}} + B C_{\text{in}},
onde + é OR lógico e a justaposição (ou \cdot) é AND lógico. Isso significa que C_{\text{out}}=1 quando pelo menos duas das entradas são 1 (ou seja, o número de entradas em 1 é 2 ou 3).

Passo 3

Interprete as duas condições de forma combinada:
  • \Sigma=1 implica: o número de entradas 1 é ímpar \Rightarrow pode ser 1 ou 3.
  • C_{\text{out}}=1 implica: o número de entradas 1 é pelo menos 2 \Rightarrow pode ser 2 ou 3.

Passo 4

Agora intersecte as possibilidades das duas condições:
  • Se o número de uns for 1: isso satisfaz \Sigma=1 mas não satisfaz C_{\text{out}}=1 (porque precisa de pelo menos 2 uns). Então 1 não serve.
  • Se o número de uns for 2: isso satisfaz C_{\text{out}}=1 mas não satisfaz \Sigma=1 (dois uns = par → \Sigma=0). Então 2 não serve.
  • Se o número de uns for 3: isso satisfaz ambas as condições (ímpar → \Sigma=1; pelo menos dois → C_{\text{out}}=1).
Portanto a única possibilidade compatível com as duas saídas simultâneas é que todas as três entradas sejam 1.

Passo 5

Verificação direta (checada com as fórmulas):
  • Se A=1, B=1, C_{\text{in}}=1, então
\Sigma = 1 \oplus 1 \oplus 1 = (1\oplus1)\oplus1 = 0\oplus1 = 1,
C_{\text{out}} = 1\cdot1 + 1\cdot1 + 1\cdot1 = 1 + 1 + 1 = 1\\ (\text{em lógica booleana }1+1=1).ó
Confirma: \Sigma=1 e C_{\text{out}}=1.

Resposta

A=1,\; B=1,\; C_{\text{in}}=1

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