Quais são os níveis nas entradas de um somador-completo que produz as seguintes saídas:
\Sigma=1, Cout =0

Passo 1

O enunciado pede: encontrar os níveis lógicos nas três entradas de um somador-completo (bits de entrada) que produzam as saídas \Sigma = 1 e \mathrm{Cout} = 0.
Informações dadas:
  • Saída soma: \Sigma = 1.
  • Saída carry-out: \mathrm{Cout} = 0.
  • As entradas são os três bits típicos de um somador completo: A, B e C_{in} (cada uma pode ser 0 ou 1).

Passo 2

Vamos escrever as fórmulas lógicas que definem as saídas do somador-completo (essas são as relações básicas que sempre valem para um somador completo).
  • A soma é o XOR de três bits:
\Sigma = A \oplus B \oplus C_{in}.
Aqui \oplus significa “exclusive OR”: o resultado é 1 quando o número de entradas iguais a 1 é ímpar.
  • O carry-out é 1 sempre que pelo menos duas das entradas são 1. Em forma booleana:
\mathrm{Cout} = A\cdot B \;+\; B\cdot C_{in} \;+\; A\cdot C_{in},
onde \cdot é AND e + é OR.
Vou explicar o que cada variável representa:
  • A, B, C_{in}: bits de entrada (cada um vale 0 ou 1).
  • \Sigma: bit soma resultante.
  • \mathrm{Cout}: carry-out (vai para o próximo estágio).

Passo 3

Interprete as condições pedidas em termos do número de bits iguais a 1.
  • A equação \Sigma = A \oplus B \oplus C_{in} diz que \Sigma=1 quando o número total de entradas 1 é ímpar: ou 1 ou 3 (pois entre 0 e 3, os números ímpares são 1 e 3).
  • A equação para \mathrm{Cout} diz que \mathrm{Cout}=1 quando existem pelo menos duas entradas iguais a 1. Logo \mathrm{Cout}=0 exatamente quando existem menos de duas entradas 1, isto é, quando o número de entradas 1 é 0 ou 1.

Passo 4

Agora combine as duas condições simultâneas:
  • Queremos \Sigma=1 (o número de 1s é ímpar: 1 ou 3).
  • Queremos \mathrm{Cout}=0 (o número de 1s é 0 ou 1).
A interseção dessas condições é: número de 1s = 1. (Pois 3 é proibido por \mathrm{Cout}=0, e 0 é proibido por \Sigma=1.)
Portanto a solução é: exatamente uma das entradas A, B, C_{in} deve ser 1, e as outras duas devem ser 0.

Passo 5

Liste explicitamente as combinações possíveis (há três combinações com exatamente um 1). Para cada combinação, verificamos mentalmente:
  • (A,B,C_{in})=(1,0,0): soma é 1 (um 1 → ímpar) e \mathrm{Cout}=0 (menos de duas 1s) — ok.
  • (A,B,C_{in})=(0,1,0): idem — ok.
  • (A,B,C_{in})=(0,0,1): idem — ok.
Não há outras combinações que atendam ambas as exigências.

Resposta

A=1,\; B=0,\; C_{in}=0
A=0,\; B=1,\; C_{in}=0
A=0,\; B=0,\; C_{in}=1

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