Quais são os níveis nas entradas de um somador-completo que produz as seguintes saídas:
\Sigma=0, Cout =1

Passo 1

O enunciado pede: determinar quais níveis lógicos nas entradas de um somador-completo (entradas A, B e C_{in}) produzem as saídas \Sigma=0 e C_{out}=1.
Informações relevantes dadas (explicitando as variáveis que vamos usar):
  • Entradas: A, B, C_{in}, cada uma podendo ser 0 ou 1.
  • Saídas desejadas: \Sigma=0 e C_{out}=1.

Passo 2

Relembrando as fórmulas do somador-completo (fórmulas padrão, e explico o que cada termo significa):
  • A soma (bit de soma) é a paridade ímpar das entradas; matematicamente:
\Sigma = A \oplus B \oplus C_{in},
onde \oplus é o XOR (exclusive OR). Isso significa que \Sigma=1 quando o número de entradas iguais a 1 é ímpar (1 ou 3), e \Sigma=0 quando esse número é par (0 ou 2).
  • O carry de saída é 1 sempre que pelo menos dois dos bits de entrada são 1. Uma expressão habitual é:
C_{out} = A\cdot B + B\cdot C_{in} + A\cdot C_{in},
onde \cdot é AND e + é OR (lógica). Em palavras: C_{out}=1 se algum par de entradas for (1,1).

Passo 3

Interpretação da condição \Sigma=0:
  • Pela propriedade do XOR indicada, \Sigma=0 acontece quando o número de entradas com valor 1 é par. Ou seja, podem ser 0 ones ou 2 ones entre A,B,C_{in}.

Passo 4

Interpretação da condição C_{out}=1:
  • Pela fórmula do carry, C_{out}=1 acontece quando pelo menos dois dos bits de entrada são 1. Em termos de contagem, o número de ones entre A,B,C_{in} deve ser \ge 2. Como o máximo é 3, isso significa que o número de ones pode ser 2 ou 3.

Passo 5

Combinação das duas condições:
  • De \Sigma=0: número de ones =0 ou 2.
  • De C_{out}=1: número de ones =2 ou 3.
  • A interseção dessas possibilidades é exatamente "número de ones =2". Logo, as entradas devem ter exatamente dois bits iguais a 1 e um bit igual a 0.

Passo 6

Listando todas as combinações com exatamente dois bits iguais a 1 (há três combinações possíveis). Vou também checar rapidamente cada uma nas fórmulas para ficar seguro:
  1. A=1,\;B=1,\;C_{in}=0:
    \Sigma = 1\oplus 1 \oplus 0 = 0 (porque 1\oplus1=0), e
    C_{out} = 1\cdot1 + 1\cdot0 + 1\cdot0 = 1. OK.
  2. A=1,\;B=0,\;C_{in}=1:
    \Sigma = 1\oplus 0 \oplus 1 = 0 (porque 1\oplus0=1 e 1\oplus1=0), e
    C_{out} = 1\cdot0 + 0\cdot1 + 1\cdot1 = 1. OK.
  3. A=0,\;B=1,\;C_{in}=1:
    \Sigma = 0\oplus 1 \oplus 1 = 0, e
    C_{out} = 0\cdot1 + 1\cdot1 + 0\cdot1 = 1. OK.

Resposta

A=1,\;B=1,\;C_{in}=0
A=1,\;B=0,\;C_{in}=1
A=0,\;B=1,\;C_{in}=1

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