com as condições iniciais \,x(0)=1 e \,v(0)=0. (Vou assumir que a segunda condição é \,y(0)=0, visto que o sistema envolve x e y.)
2) O sistema matricial
Para o sistema (1): encontrar um conjunto fundamental de soluções reais e, usando as condições iniciais \,x(0)=1 e \,y(0)=0, obter a solução particular.
Para o sistema (2): encontrar um conjunto fundamental de soluções (vetores solução independentes em termos de funções reais) e, se for o caso, a forma geral da solução.]
Passo 2
Estratégia geral (sem resolver ainda), explicada de maneira didática e simples.
Para sistemas lineares com coeficientes constantes a técnica padrão é buscar soluções da forma \mathbf{X}(t)=\mathbf{v}\,e^{\lambda t}, onde \lambda é um escalar (potencial autovalor) e \mathbf{v} é um vetor não nulo (potencial autovetor). Ao substituir na equação obtém-se (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}. Os valores \lambda possíveis são as raízes do polinômio característico \det(A-\lambda I)=0.
Se os autovalores são reais e distintos, cada autovetor gera uma solução real \mathbf{v}e^{\lambda t}. Se houver autovalores complexos conjugados \alpha\pm i\beta com autovetor complexo \mathbf{u}+i\mathbf{w}, então as partes real e imaginária de \mathbf{u}e^{(\alpha+i\beta)t} dão duas soluções reais independentes do sistema (e são da forma e^{\alpha t}(\mathbf{u}\cos\beta t-\mathbf{w}\sin\beta t) e e^{\alpha t}(\mathbf{u}\sin\beta t+\mathbf{w}\cos\beta t)).
No sistema (2) a matriz é triangular por blocos (na prática é inferior com zeros acima da diagonal principal), o que facilita achar autovalores (são as entradas da diagonal) e autovetores resolvendo (A-\lambda I)\mathbf{v}=\mathbf{0}.
Vou aplicar essas ideias passo a passo.
Passo 3
Resolver o sistema (1): cálculo dos autovalores e interpretação.
A matriz associada éA=\begin{pmatrix}2 & -1\\[4pt]1 & 2\end{pmatrix}.
O polinômio característico é\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda & -1\\[4pt]1 & 2-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)^2+1.
Resolvendo (2-\lambda)^2+1=0 obtemos(2-\lambda)^2=-1\quad\Rightarrow\quad 2-\lambda=\pm i,portanto\lambda=2\pm i.
Esses são autovalores complexos conjugados com parte real \alpha=2 e parte imaginária \beta=1. Pela teoria acima, esperamos duas soluções reais independentes do tipo e^{2t} multiplicadas por combinações de \cos t e \sin t.]
Passo 4
Encontrar um autovetor complexo associado a \lambda=2+i e construir a solução complexa.
Resolvemos (A-(2+i)I)\mathbf{v}=\mathbf{0}, isto é\begin{pmatrix}-i & -1\\[4pt]1 & -i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[4pt]v_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Da primeira linha vem -i v_1 - v_2=0, logo v_2=-i v_1. Tomando v_1=1 (podemos escolher um escala livre), obtemos o autovetor\mathbf{v}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.
A solução complexa correspondente é\mathbf{z}(t)=\mathbf{v}\,e^{(2+i)t}=e^{2t}e^{it}\begin{pmatrix}1\\[4pt]-i\end{pmatrix}.]
Passo 5
Extrair as duas soluções reais independentes a partir de \mathbf{z}(t).
Escrever e^{it}=\cos t + i\sin t e multiplicar pela componente do vetor:\mathbf{z}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t + i\sin t\\[4pt](\cos t + i\sin t)(-i)\end{pmatrix}.
Calcular a segunda componente: (\cos t + i\sin t)(-i)=-i\cos t + \sin t.
Assim\mathbf{z}(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t + i\sin t\\[4pt]\sin t - i\cos t\end{pmatrix}.
A parte real e a parte imaginária de \mathbf{z}(t) são soluções reais independentes:\Re(\mathbf{z}(t))=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}, \qquad \Im(\mathbf{z}(t))=e^{2t}\begin{pmatrix}\sin t\\[4pt]-\cos t\end{pmatrix}.
Logo um conjunto fundamental de soluções reais para (1) é formado por\mathbf{X}_1(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix}, \qquad \mathbf{X}_2(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\sin t\\[4pt]-\cos t\end{pmatrix}.
Esses dois vetores são linearmente independentes (por exemplo, seus valores em t=0 são \mathbf{X}_1(0)=(1,0) e \mathbf{X}_2(0)=(0,-1), vetores independentes).]
Passo 6
Usar as condições iniciais \,x(0)=1 e \,y(0)=0 para obter a solução particular do sistema (1).
A solução geral é combinação linear\mathbf{X}(t)=c_1\mathbf{X}_1(t)+c_2\mathbf{X}_2(t).
Em t=0, temos \mathbf{X}_1(0)=(1,0) e \mathbf{X}_2(0)=(0,-1); a condição inicial é \mathbf{X}(0)=(1,0)^\top. Entãoc_1\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}+c_2\begin{pmatrix}0\\[4pt]-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\end{pmatrix}.
Isso dá o sistema para c_1,c_2: c_1=1 e -c_2=0\Rightarrow c_2=0.
Portanto a solução particular é simplesmente\mathbf{X}(t)=\mathbf{X}_1(t)=e^{2t}\begin{pmatrix}\cos t\\[4pt]\sin t\end{pmatrix},ou, em componentes,x(t)=e^{2t}\cos t,\qquad y(t)=e^{2t}\sin t.]
Passo 7
Resolver o sistema (2): detectar autovalores pela forma da matriz e explicar o porquê.
A matriz do sistema (2) éA=\begin{pmatrix} 5 & 0 & 0\\[4pt] 0 & 5 & 0\\[4pt] 3 & 2 & 6 \end{pmatrix}.
Numa matriz triangular (ou triangular por blocos) os autovalores aparecem na diagonal principal. Assim os autovalores são \lambda_1=5,\;\lambda_2=5 (autovalor com multiplicidade algébrica 2) e \lambda_3=6.
É preciso verificar a dimensão do espaço próprio (multiplicidade geométrica) para \lambda=5. Se houver dois autovetores independentes associados a \lambda=5, então teremos duas soluções independentes do tipo \mathbf{v}e^{5t}. Caso contrário precisaríamos de vetores generalizados; aqui vamos resolver e ver que há de fato dois autovetores.]
Da primeira e segunda equações vem v_1=0 e v_2=0. A terceira equação fica 0=0 quando v_1=v_2=0, então v_3 é livre. Tomando v_3=1 obtemos o autovetor\mathbf{v}^{(3)}=\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
Cada autovetor gera uma solução exponencial:\mathbf{v}^{(1)}e^{5t},\qquad \mathbf{v}^{(2)}e^{5t},\qquad \mathbf{v}^{(3)}e^{6t}.
Portanto um conjunto fundamental de soluções reais (três vetores solução linearmente independentes) para o sistema (2) ée^{5t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix},\qquad e^{5t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix},\qquad e^{6t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix}.
A solução geral do sistema (2) é então\mathbf{X}(t)=C_1 e^{5t}\begin{pmatrix}1\\[4pt]0\\[4pt]-3\end{pmatrix} +C_2 e^{5t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]1\\[4pt]-2\end{pmatrix} +C_3 e^{6t}\begin{pmatrix}0\\[4pt]0\\[4pt]1\end{pmatrix},com constantes reais C_1,C_2,C_3.]