Quais são os Tipos de Normas, explique cada uma delas.
Passo 1
O enunciado pede para apresentar e explicar os principais tipos de normas usadas em espaços vetoriais e em matrizes. Para isso, vamos ver primeiro o que é uma norma em geral e depois detalhar as normas vetoriais (norma
) e as normas matriciais (induzida e de Frobenius).
Passo 2
Definição geral de norma: seja
um espaço vetorial sobre
(ou
). Uma aplicação
é uma norma se, para todo
e todo escalar
, valem:
- Positividade:
e sse . - Homogeneidade:
. - Desigualdade triangular:
.
Passo 3
Norma vetorial
(ou norma
): para um vetor
, define-se
com
. Essa família de normas satisfaz as três propriedades acima e mede “distâncias” de várias formas, dependendo de
.
Passo 4
Casos especiais da norma
:
- Norma (Manhattan):
- Norma
que soma os valores absolutos.
- Norma (Euclidiana):
- Norma
a distância usual no plano ou no espaço.
- Norma (Chebyshev ou máximo):
- Norma
que pega o maior valor absoluto entre as componentes.
Passo 5
Normas em matrizes
:
- Norma induzida (operator norm) de ordem
:
É a máxima “dilatação” que
faz em vetores medidos pela norma
.
2. Norma de Frobenius:
2. Norma de Frobenius:
que é análoga à norma
em
e fácil de calcular.
Resposta
Tipos de normas e explicações:
-
Norma
(vetorial geral):
, com , satisfaz positividade, homogeneidade e desigualdade triangular. -
Norma
(Manhattan):
. Soma as distâncias em cada componente. -
Norma
(Euclidiana):
. Distância geométrica usual. -
Norma
(Chebyshev):
. Mede a diferença máxima em qualquer componente. -
Norma induzida (operador) de ordem
:
. Mede a maior ampliação de vetores. -
Norma de Frobenius:
. Equivalente à norma vista sobre todos os elementos de .