Quais são os Tipos de Normas, explique cada uma delas.

Passo 1

O enunciado pede para apresentar e explicar os principais tipos de normas usadas em espaços vetoriais e em matrizes. Para isso, vamos ver primeiro o que é uma norma em geral e depois detalhar as normas vetoriais (norma p) e as normas matriciais (induzida e de Frobenius).

Passo 2

Definição geral de norma: seja V um espaço vetorial sobre \mathbb{R} (ou \mathbb{C}). Uma aplicação
\|\cdot\|\colon V \to \mathbb{R}
é uma norma se, para todo x,y\in V e todo escalar \alpha, valem:
  1. Positividade: \|x\|\ge0 e \|x\|=0 sse x=0.
  2. Homogeneidade: \|\alpha x\|=|\alpha|\,\|x\|.
  3. Desigualdade triangular: \|x+y\|\le\|x\|+\|y\|.

Passo 3

Norma vetorial p (ou norma \ell_p): para um vetor x=(x_1,\dots,x_n)\in\mathbb{R}^n, define-se
\|x\|_p = \Bigl(\sum_{i=1}^n |x_i|^p\Bigr)^{1/p},
com p\ge1. Essa família de normas satisfaz as três propriedades acima e mede “distâncias” de várias formas, dependendo de p.

Passo 4

Casos especiais da norma \ell_p:
- Norma \ell_1 (Manhattan):
\|x\|_1 = \sum_{i=1}^n |x_i|,
que soma os valores absolutos.
- Norma \ell_2 (Euclidiana):
\|x\|_2 = \Bigl(\sum_{i=1}^n x_i^2\Bigr)^{1/2},
a distância usual no plano ou no espaço.
- Norma \ell_\infty (Chebyshev ou máximo):
\|x\|_\infty = \max_{1\le i\le n} |x_i|,
que pega o maior valor absoluto entre as componentes.

Passo 5

Normas em matrizes A\in\mathbb{R}^{m\times n}:
  1. Norma induzida (operator norm) de ordem p:
\|A\|_p = \sup_{x\neq0} \frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}.
É a máxima “dilatação” que A faz em vetores medidos pela norma \ell_p.
2. Norma de Frobenius:
\|A\|_F = \Bigl(\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^n A_{ij}^2\Bigr)^{1/2},
que é análoga à norma \ell_2 em \mathbb{R}^{mn} e fácil de calcular.

Resposta

Tipos de normas e explicações:
  1. Norma \ell_p (vetorial geral):
    \displaystyle \|x\|_p = \bigl(\sum_{i=1}^n|x_i|^p\bigr)^{1/p}, com p\ge1, satisfaz positividade, homogeneidade e desigualdade triangular.
  2. Norma \ell_1 (Manhattan):
    \displaystyle \|x\|_1 = \sum_{i=1}^n|x_i|. Soma as distâncias em cada componente.
  3. Norma \ell_2 (Euclidiana):
    \displaystyle \|x\|_2 = (\sum_{i=1}^n x_i^2)^{1/2}. Distância geométrica usual.
  4. Norma \ell_\infty (Chebyshev):
    \displaystyle \|x\|_\infty = \max_{i}|x_i|. Mede a diferença máxima em qualquer componente.
  5. Norma induzida (operador) de ordem p:
    \displaystyle \|A\|_p = \sup_{x\neq0}\frac{\|Ax\|_p}{\|x\|_p}. Mede a maior ampliação de vetores.
  6. Norma de Frobenius:
    \displaystyle \|A\|_F = \bigl(\sum_{i,j}A_{ij}^2\bigr)^{1/2}. Equivalente à norma \ell_2 vista sobre todos os elementos de A.

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