O que são quartis? O que representam Q_{1}, Q_{2} e Q_{3} ?

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) explicar o que são os quartis e (2) dizer o que representam Q_{1}, Q_{2} e Q_{3}.
Não foram fornecidos dados numéricos; a resposta deve ser conceitual e mostrar como calcular com exemplos.

Passo 2

Conceito básico (visão intuitiva). Ordena-se os dados do menor para o maior e divide-se essa sequência em quatro partes com aproximadamente o mesmo número de observações. Os quartis são os valores que marcam essas divisões:
  • Q_{1} é o valor que separa o primeiro quarto (25%) dos restantes 75% dos dados;
  • Q_{2} é o valor que separa os 50% inferiores dos 50% superiores (ou seja, a mediana);
  • Q_{3} é o valor que separa os 75% inferiores dos 25% superiores.

Passo 3

Definição via percentis (forma compacta). Os quartis correspondem aos percentis:
  • Q_{1} = 25º percentil,
  • Q_{2} = 50º percentil (mediana),
  • Q_{3} = 75º percentil.
    Uma forma de achar a posição do percentil p numa amostra de tamanho n é usar a fórmula de posição
\text{posição} = (n+1)\,p,çã
onde p é a fração (por exemplo, p=0{,}25 para Q_{1}, p=0{,}5 para Q_{2}, p=0{,}75 para Q_{3}). Se a posição for inteira, o quartil é o valor nessa posição; se não for inteira, interpola-se entre os vizinhos.

Passo 4

Regra prática simples (método que usaremos aqui, muito comum em provas):
  1. Ordenar os dados.
  2. Q_{2} é a mediana (se n é ímpar, é o valor do meio; se n é par, é a média dos dois valores do meio).
  3. Para Q_{1} tomar a mediana da metade inferior dos dados e para Q_{3} tomar a mediana da metade superior. Se n for ímpar, ao dividir em duas metades costuma-se excluir o valor da mediana central (essa é a convenção de Tukey). Esta é uma regra fácil de aplicar sem interpolação.

Passo 5

Exemplo 1 — n par (aplicando a regra prática). Dados ordenados:
2,\;4,\;5,\;7,\;9,\;10 \quad (n=6).
  • Primeiro, Q_{2} (mediana) é a média dos dois valores do meio:
Q_{2} = \frac{5+7}{2} = 6.
  • Metade inferior (primeiros n/2=3 valores): 2,4,5. A mediana dessa metade é 4, logo Q_{1}=4.
  • Metade superior (últimos 3 valores): 7,9,10. A mediana dessa metade é 9, logo Q_{3}=9.

Passo 6

Exemplo 2 — n ímpar (excluindo a mediana ao formar as metades). Dados ordenados:
1,\;3,\;4,\;6,\;8 \quad (n=5).
  • Q_{2} é o valor central: Q_{2}=4.
  • Exclui-se o 4 e toma-se a metade inferior 1,3: mediana é \tfrac{1+3}{2}=2, então Q_{1}=2.
  • Metade superior 6,8: mediana é \tfrac{6+8}{2}=7, então Q_{3}=7.

Passo 7

Observação sobre convenções alternativas. A regra da posição (n+1)p com interpolação às vezes dá quartis ligeiramente diferentes dos obtidos por dividir em metades. Exemplo rápido com os mesmos dados do Exemplo 1 ( n=6):
  • posição de Q_{1}: (6+1)\cdot 0{,}25 = 1{,}75. Isso indica interpolar 75\% do caminho entre o 1.º e o 2.º valor: 2 + 0{,}75(4-2)=3{,}5, diferente de 4. Ambas as convenções aparecem em livros e softwares; por isso, em provas, indique qual convenção usou se houver ambiguidade.

Passo 8

Interpretação prática e uso dos quartis.
  • Q_{1} diz: 25% dos dados estão abaixo de Q_{1} e 75% acima (aproximadamente).
  • Q_{2} (mediana): metade dos dados está abaixo e metade acima.
  • Q_{3}: 75% dos dados estão abaixo e 25% acima.
    Uma medida útil derivada dos quartis é o intervalo interquartílico
\text{IQR} = Q_{3}-Q_{1},
que mede dispersão central e serve para detectar outliers pela regra de 1{,}5\cdot\text{IQR}: pontos abaixo de Q_{1}-1{,}5\cdot\text{IQR} ou acima de Q_{3}+1{,}5\cdot\text{IQR} são considerados possíveis outliers.

Passo 9

Dicas rápidas para a prova (passo a passo que funciona sempre): 1) Ordenar os dados; 2) achar a mediana Q_{2}; 3) separar em metades (se n ímpar, exclua a mediana) e achar as medianas das metades para obter Q_{1} e Q_{3}; 4) se a posição não cair inteira e a prova pede outro método, use a fórmula (n+1)p com interpolação. Se houver dúvida, explique qual método usou.

Resposta

Q_{1} é o primeiro quartil (25^º percentil): corta o primeiro quarto (25%) dos dados.
Q_{2} é o segundo quartil (50^º percentil), ou seja, a mediana.
Q_{3} é o terceiro quartil (75^º percentil): corta os 75% inferiores dos 25% superiores.

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