O que são quartis? O que representam
e
?
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) explicar o que são os quartis e (2) dizer o que representam
e
.
Não foram fornecidos dados numéricos; a resposta deve ser conceitual e mostrar como calcular com exemplos.
Não foram fornecidos dados numéricos; a resposta deve ser conceitual e mostrar como calcular com exemplos.
Passo 2
Conceito básico (visão intuitiva). Ordena-se os dados do menor para o maior e divide-se essa sequência em quatro partes com aproximadamente o mesmo número de observações. Os quartis são os valores que marcam essas divisões:
-
é o valor que separa o primeiro quarto (25%) dos restantes 75% dos dados; -
é o valor que separa os 50% inferiores dos 50% superiores (ou seja, a mediana); -
é o valor que separa os 75% inferiores dos 25% superiores.
Passo 3
Definição via percentis (forma compacta). Os quartis correspondem aos percentis:
-
= 25º percentil, -
= 50º percentil (mediana), -
= 75º percentil.
Uma forma de achar a posição do percentilnuma amostra de tamanho é usar a fórmula de posição
onde
é a fração (por exemplo,
para
,
para
,
para
). Se a posição for inteira, o quartil é o valor nessa posição; se não for inteira, interpola-se entre os vizinhos.
Passo 4
Regra prática simples (método que usaremos aqui, muito comum em provas):
- Ordenar os dados.
-
é a mediana (se é ímpar, é o valor do meio; se é par, é a média dos dois valores do meio). - Para
tomar a mediana da metade inferior dos dados e para tomar a mediana da metade superior. Se for ímpar, ao dividir em duas metades costuma-se excluir o valor da mediana central (essa é a convenção de Tukey). Esta é uma regra fácil de aplicar sem interpolação.
Passo 5
Exemplo 1 —
par (aplicando a regra prática). Dados ordenados:
- Primeiro,
(mediana) é a média dos dois valores do meio:
- Metade inferior (primeiros
valores): . A mediana dessa metade é , logo . - Metade superior (últimos 3 valores):
. A mediana dessa metade é , logo .
Passo 6
Exemplo 2 —
ímpar (excluindo a mediana ao formar as metades). Dados ordenados:
-
é o valor central: . - Exclui-se o
e toma-se a metade inferior : mediana é , então . - Metade superior
: mediana é , então .
Passo 7
Observação sobre convenções alternativas. A regra da posição
com interpolação às vezes dá quartis ligeiramente diferentes dos obtidos por dividir em metades. Exemplo rápido com os mesmos dados do Exemplo 1 (
):
- posição de
: . Isso indica interpolar do caminho entre o 1.º e o 2.º valor: , diferente de . Ambas as convenções aparecem em livros e softwares; por isso, em provas, indique qual convenção usou se houver ambiguidade.
Passo 8
Interpretação prática e uso dos quartis.
-
diz: 25% dos dados estão abaixo de e 75% acima (aproximadamente). -
(mediana): metade dos dados está abaixo e metade acima. -
: 75% dos dados estão abaixo e 25% acima.
Uma medida útil derivada dos quartis é o intervalo interquartílico
que mede dispersão central e serve para detectar outliers pela regra de
: pontos abaixo de
ou acima de
são considerados possíveis outliers.
Passo 9
Dicas rápidas para a prova (passo a passo que funciona sempre): 1) Ordenar os dados; 2) achar a mediana
; 3) separar em metades (se
ímpar, exclua a mediana) e achar as medianas das metades para obter
e
; 4) se a posição não cair inteira e a prova pede outro método, use a fórmula
com interpolação. Se houver dúvida, explique qual método usou.