(2,0 pontos) Uma confecção de roupa infantil suspeita que 30 \% de sua produção apresentam algum defeito. Se tal suspeita correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de seis peças, sejam encontradas menos de quatro/peças boas.

Passo 1

O enunciado dá estas informações e pede isto:
  • A suspeita é que 30\% da produção apresentam defeito.
  • Uma amostra de 6 peças é retirada.
  • Pergunta: qual a probabilidade de que, nessa amostra, sejam encontradas menos de quatro peças boas?
Informações relevantes listadas:
  • Proporção de peças defeituosas: 30\%, ou seja \,0,3.
  • Então a probabilidade de uma peça ser boa é \,1-0,3=0,7.
  • Tamanho da amostra: n=6.
  • Evento pedido: “menos de quatro peças boas” significa “o número de peças boas é menor que 4”, ou seja, 0,1,2 ou 3 peças boas.

Passo 2

Escolher uma variável aleatória para modelar o problema e a distribuição adequada.
Definição útil (explicação didática):
  • Quando temos um número fixo n de ensaios independentes, cada ensaio com apenas dois resultados possíveis (aqui: “boa” ou “defeituosa”) e a probabilidade de sucesso (aqui: peça boa) é sempre a mesma em cada ensaio, o número de sucessos segue a distribuição binomial.
  • Escreve-se: se X é o número de peças boas, então X \sim \mathrm{Bin}(n,p), onde:
    • n é o número de ensaios (aqui n=6),
    • p é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui p=0,7),
    • para um valor k inteiro entre 0 e n, a probabilidade de exatamente k sucessos é dada por
\Pr(X=k)=\binom{n}{k}\,p^{k}\,(1-p)^{\,n-k}.
  • Aqui \binom{n}{k} é o coeficiente binomial (número de combinações), que pode ser calculado por
\binom{n}{k}=\dfrac{n!}{k!(n-k)!}.
Explicação do que cada símbolo significa já foi dada acima.

Passo 3

Aplicar ao problema: queremos a probabilidade de menos de quatro peças boas, isto é \Pr(X<4)=\Pr(X\le 3). Como X\sim\mathrm{Bin}(6,0,7),
\Pr(X\le 3)=\sum_{k=0}^{3}\binom{6}{k}(0,7)^{k}(0,3)^{6-k}.
Vou calcular termo a termo. Os coeficientes binomiais necessários são:
\binom{6}{0}=1,\quad \binom{6}{1}=6,\quad \binom{6}{2}=15,\quad \binom{6}{3}=20.

Passo 4

Calcular cada termo com detalhe (vou mostrar as multiplicações passo a passo para que dê pra fazer sem calculadora, usando potências simples):
Termo k=0:
\Pr(X=0)=\binom{6}{0}(0,7)^{0}(0,3)^{6}=1\cdot 1\cdot (0,3)^{6}.
Calcule (0,3)^{6}: (0,3)^{2}=0,09, (0,3)^{3}=0,027, (0,3)^{4}=0,0081, (0,3)^{5}=0,00243, (0,3)^{6}=0,000729.
Logo
\Pr(X=0)=0,000729.
Termo k=1:
\Pr(X=1)=\binom{6}{1}(0,7)^{1}(0,3)^{5}=6\cdot 0,7\cdot (0,3)^{5}.
Usando (0,3)^{5}=0,00243,
0,7\cdot 0,00243=0,001701,
e multiplicando por 6:
\Pr(X=1)=6\cdot 0,001701=0,010206.
Termo k=2:
\Pr(X=2)=\binom{6}{2}(0,7)^{2}(0,3)^{4}=15\cdot(0,7)^{2}\cdot (0,3)^{4}.
Calcule (0,7)^{2}=0,49 e (0,3)^{4}=0,0081.
0,49\cdot 0,0081=0,003969,
multiplicando por 15:
\Pr(X=2)=15\cdot 0,003969=0,059535.
Termo k=3:
\Pr(X=3)=\binom{6}{3}(0,7)^{3}(0,3)^{3}=20\cdot(0,7)^{3}\cdot (0,3)^{3}.
Calcule (0,7)^{3}=0,343 e (0,3)^{3}=0,027.
0,343\cdot 0,027=0,009261,
multiplicando por 20:
\Pr(X=3)=20\cdot 0,009261=0,18522.

Passo 5

Somar os termos para obter \Pr(X\le 3):
\Pr(X\le 3)=\Pr(X=0)+\Pr(X=1)+\Pr(X=2)+\Pr(X=3).
Substituindo os valores calculados:
\Pr(X\le 3)=0,000729+0,010206+0,059535+0,18522.
Somando em etapas:
0,000729+0,010206=0,010935,
0,010935+0,059535=0,07047,
0,07047+0,18522=0,25569.
Interpretação rápida e motivação: a probabilidade de encontrar menos de quatro peças boas (ou seja, no máximo três boas) na amostra de seis, quando cada peça tem 70\% de chance de ser boa, é cerca de 0,25569 (aproximadamente 25{,}6\%). Você pode usar esse procedimento em qualquer problema parecido: identificar sucesso, escrever X\sim\mathrm{Bin}(n,p), e somar as probabilidades desejadas termo a termo.

Resposta

0,25569

Exercícios relacionados