(2,0 pontos) Uma confecção de roupa infantil suspeita que
de sua produção apresentam algum defeito. Se tal suspeita correta, determine a probabilidade de que, numa amostra de seis peças, sejam encontradas menos de quatro/peças boas.
Passo 1
O enunciado dá estas informações e pede isto:
- A suspeita é que
da produção apresentam defeito. - Uma amostra de
peças é retirada. - Pergunta: qual a probabilidade de que, nessa amostra, sejam encontradas menos de quatro peças boas?
Informações relevantes listadas:
- Proporção de peças defeituosas:
, ou seja . - Então a probabilidade de uma peça ser boa é
. - Tamanho da amostra:
. - Evento pedido: “menos de quatro peças boas” significa “o número de peças boas é menor que 4”, ou seja,
ou peças boas.
Passo 2
Escolher uma variável aleatória para modelar o problema e a distribuição adequada.
Definição útil (explicação didática):
- Quando temos um número fixo
de ensaios independentes, cada ensaio com apenas dois resultados possíveis (aqui: “boa” ou “defeituosa”) e a probabilidade de sucesso (aqui: peça boa) é sempre a mesma em cada ensaio, o número de sucessos segue a distribuição binomial. - Escreve-se: se
é o número de peças boas, então , onde: -
é o número de ensaios (aqui ), -
é a probabilidade de sucesso em cada ensaio (aqui ), - para um valor
inteiro entre e , a probabilidade de exatamente sucessos é dada por
-
- Aqui
é o coeficiente binomial (número de combinações), que pode ser calculado por
Explicação do que cada símbolo significa já foi dada acima.
Passo 3
Aplicar ao problema: queremos a probabilidade de menos de quatro peças boas, isto é
. Como
,
Vou calcular termo a termo. Os coeficientes binomiais necessários são:
Passo 4
Calcular cada termo com detalhe (vou mostrar as multiplicações passo a passo para que dê pra fazer sem calculadora, usando potências simples):
Termo
:
Calcule
:
,
,
,
,
.
Logo
Logo
Termo
:
Usando
,
e multiplicando por
:
Termo
:
Calcule
e
.
multiplicando por
:
Termo
:
Calcule
e
.
multiplicando por
:
Passo 5
Somar os termos para obter
:
Substituindo os valores calculados:
Somando em etapas:
Interpretação rápida e motivação: a probabilidade de encontrar menos de quatro peças boas (ou seja, no máximo três boas) na amostra de seis, quando cada peça tem
de chance de ser boa, é cerca de
(aproximadamente
). Você pode usar esse procedimento em qualquer problema parecido: identificar sucesso, escrever
, e somar as probabilidades desejadas termo a termo.