Questão 01 (2.0 pontos)

Uma partícula em queda no ar está sujeita a uma aceleraçăo a=g-k v^{2}, na direção do centro da terra. g é a aceleraçăo da gravidade \left(\mathrm{m} / \mathrm{s}^{2}\right) e v é a velocidade da particula (\mathrm{m} / \mathrm{s}). A constante k, portanto, tem unidade de \mathrm{m}^{-1}. Se a particula parte do repouso e cai em linha reta, pede-se calcular:
a) A velocidade máxima alcançada pela partícula; [2/3]
b) O tempo percorrido até que a velocidade não sofra mais variaçăo ao longo da trajetória; [2/3]
c) A distância percorrida até o ponto em que a velocidade não sofre mais variaçăo ao longo da trajetória; [2/3]
Nota: Supor que a altura inicial seja suficiente para as condiçōes ocorram;

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula em queda vertical com aceleração dada por
a = \frac{dv}{dt} = g - k\,v^2,
onde g é a gravidade, k é uma constante positiva com unidade \mathrm{m}^{-1} e v(t) é a velocidade. Começamos do repouso em t=0. Vamos usar separação de variáveis em ODEs para encontrar v(t) e depois extrair (a) a velocidade terminal, (b) o tempo necessário para v parar de variar e (c) a distância percorrida até esse ponto.

Passo 2

Separe a equação
\frac{dv}{dt} = g - k\,v^2
como
\frac{dv}{g - k\,v^2} = dt
e integre de v=0 a v=v(t) e de t=0 a t:
\int_{0}^{v(t)} \frac{dv}{g - k\,v^2} = \int_{0}^{t} dt.
Sabendo que
\int \frac{dv}{g - k\,v^2} = \frac{1}{\sqrt{g\,k}}\operatorname{arctanh}\!\bigl(v\sqrt{\tfrac{k}{g}}\bigr),
obtém-se
\frac{1}{\sqrt{g\,k}}\;\operatorname{arctanh}\!\bigl(v(t)\sqrt{\tfrac{k}{g}}\bigr) = t.
Isolando v(t):
\operatorname{arctanh}\!\bigl(v\,\sqrt{\tfrac{k}{g}}\bigr) = t\,\sqrt{g\,k} \quad\Longrightarrow\quad v(t) = \sqrt{\frac{g}{k}}\;\operatorname{tanh}\!\bigl(t\sqrt{g\,k}\bigr).

Passo 3

A velocidade máxima (terminal) é o limite de v(t) quando t\to\infty:
v_{\max} = \lim_{t\to\infty}v(t) = \sqrt{\frac{g}{k}}\;\lim_{t\to\infty}\operatorname{tanh}\!(t\sqrt{g\,k}) = \sqrt{\frac{g}{k}}.

Passo 4

O tempo para que a velocidade deixe de variar, isto é, \dv{v}{t}=0 ocorre quando v=v_{\max}. Da expressão invertida,
t = \frac{1}{\sqrt{g\,k}}\;\operatorname{arctanh}\!\Bigl(\frac{v}{\sqrt{g/k}}\Bigr).
Para v=v_{\max}=\sqrt{g/k} temos \operatorname{arctanh}(1)=\infty. Logo, o tempo necessário é
t \;=\;\infty.

Passo 5

A distância x(t) percorrida é
x(t) = \int_{0}^{t}v(\tau)\,d\tau = \sqrt{\frac{g}{k}}\int_{0}^{t}\operatorname{tanh}\!(\tau\sqrt{g\,k})\,d\tau.
Fazendo a integral, chega-se a
x(t) = \frac{1}{k}\,\ln\!\bigl[\operatorname{cosh}(t\sqrt{g\,k})\bigr].
Para t\to\infty, \operatorname{cosh}(t\sqrt{gk})\to\infty e portanto
x(\infty)=\infty.

Resposta

a) \displaystyle v_{\max} = \sqrt{\frac{g}{k}}.
b) \displaystyle t = \infty.
c) \displaystyle x = \infty.

Exercícios relacionados