Questão 01 (2.0 pontos)
Uma partícula em queda no ar está sujeita a uma aceleraçăo
, na direção do centro da terra.
é a aceleraçăo da gravidade
e
é a velocidade da particula
. A constante
, portanto, tem unidade de
. Se a particula parte do repouso e cai em linha reta, pede-se calcular:
a) A velocidade máxima alcançada pela partícula; [2/3]
b) O tempo percorrido até que a velocidade não sofra mais variaçăo ao longo da trajetória; [2/3]
c) A distância percorrida até o ponto em que a velocidade não sofre mais variaçăo ao longo da trajetória; [2/3]
Nota: Supor que a altura inicial seja suficiente para as condiçōes ocorram;
a) A velocidade máxima alcançada pela partícula; [2/3]
b) O tempo percorrido até que a velocidade não sofra mais variaçăo ao longo da trajetória; [2/3]
c) A distância percorrida até o ponto em que a velocidade não sofre mais variaçăo ao longo da trajetória; [2/3]
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula em queda vertical com aceleração dada por
onde
é a gravidade,
é uma constante positiva com unidade
e
é a velocidade. Começamos do repouso em
. Vamos usar separação de variáveis em ODEs para encontrar
e depois extrair (a) a velocidade terminal, (b) o tempo necessário para
parar de variar e (c) a distância percorrida até esse ponto.
Passo 2
Separe a equação
como
e integre de
a
e de
a
:
Sabendo que
obtém-se
Isolando
:
Passo 3
A velocidade máxima (terminal) é o limite de
quando
:
Passo 4
O tempo para que a velocidade deixe de variar, isto é,
ocorre quando
. Da expressão invertida,
Para
temos
. Logo, o tempo necessário é
Passo 5
A distância
percorrida é
Fazendo a integral, chega-se a
Para
,
e portanto
Resposta
a)
b)
c)
b)
c)