SAQ 17
Determine the principal moment of inertia of the angle section
and locate their orientation.
Determine the principal moment of inertia of the angle section
Passo 1
O enunciado dá uma seção em ângulo com medidas das pernas e espessura e pede os momentos de inércia principais (ou seja, os autovalores do tensor de inércia da área) e a orientação desses eixos principais. Dados e perguntas listadas claramente:
- Dados da seção: pernas iguais com comprimento
e espessura . Representação usual: uma perna horizontal e outra vertical formando um ângulo reto, ambas com espessura . Notação do enunciado: seção . - Perguntas:
- Determinar os momentos de inércia principais (valores numéricos, em
). - Localizar a orientação (ângulo) desses eixos principais em relação a um eixo de referência (vou usar como referência o eixo
paralelo à perna horizontal e o eixo paralelo à perna vertical, com origem no canto externo onde as duas pernas se encontram).
- Determinar os momentos de inércia principais (valores numéricos, em
Observações: adoto como origem o canto exterior onde as pernas se unem, com o eixo
seguindo a perna horizontal para a direita e o eixo
seguindo a perna vertical para cima. A resolução começa no Passo 2.
Passo 2
Calcular as áreas dos componentes e a área total (tratando a região sobreposta no canto). Dividimos a seção em dois retângulos (perna horizontal e perna vertical) e subtraímos a sobreposição quadrada
.
- Área da perna horizontal:
. - Área da perna vertical:
. - Área da sobreposição (quadrado):
.
Área total:
Explicação curta do conceito usado: para somar áreas de figuras que se sobrepõem, soma-se cada área e subtrai-se a parte em que houve contagem dupla (a sobreposição).
Passo 3
Calcular as coordenadas do centroide (primeiro momentos) em relação à origem escolhida (canto exterior). Para cada retângulo usamos o ponto médio como centroide local.
- Centroide da perna horizontal:
- Centroide da perna vertical:
- Centroide da sobreposição:
Fórmula do centroide composto na direção
:
Cálculo:
Pela simetria das pernas iguais (horizontal/vertical), espera-se
. Confirmando:
Comentário didático: o centroide do ângulo igual fica sobre a bissetriz do ângulo reto, mas não no ponto médio das pernas; por isso
mas ambos ≠
nem ≠
.
Passo 4
Vamos calcular os momentos de inércia iniciais em relação aos eixos passando pela origem (canto exterior) — é mais simples somar os contributos de cada peça aí e depois transladar para os eixos centroidais usando teorema dos eixos paralelos.
Primeiro, recordando fórmulas de momento de inércia de um retângulo de largura
(na direção
) e altura
(na direção
) em torno de seus eixos centroidais:
onde
é em torno de um eixo paralelo a
passando pelo centro do retângulo (ou seja, horizontal através do centro), e
é em torno de eixo paralelo a
pelo centro.
Para cada retângulo (horizontal, vertical, sobreposição) calculamos
e
em relação à origem usando o teorema dos eixos paralelos:
Cálculos dos momentos centroidais dos retângulos:
- Perna horizontal (
): - Perna vertical (
): - Sobreposição (
):
Agora momentos em relação à origem:
-
Para
em relação à origem: Substituindo números: -
De modo análogo, por simetria:
Comentário: por causa das pernas iguais e da escolha da origem no canto exterior, os momentos em torno de
e
na origem são iguais.
Passo 5
Calcular o produto de inércia em relação à origem. Para um retângulo cujo sistema de eixos coincide com as direções simétricas do retângulo, o produto de inércia em torno do seu próprio centro é zero. O produto de inércia em relação à origem para cada peça é dado por:
Substituindo:
Explicação didática:
mede a “correlação” entre as coordenadas da área; para cada pedaço uniforme pode-se aproximar pelo produto da área pelo produto das coordenadas do seu centro.
Passo 6
Transladar os momentos e o produto de inércia da origem para o centroide (
) usando as relações de mudança de eixo (teorema dos eixos paralelos para momentos e produto de inércia):
Fórmulas:
Já calculamos
,
,
e
. Calculamos
.
Agora:
Portanto:
Interpretação: os momentos centrais em
e
são iguais e o produto de inércia é negativo (indicando orientação dos eixos principais rota em relação aos eixos
).
Passo 7
Determinar os momentos de inércia principais (autovalores) e a orientação dos eixos principais. Para um plano, os momentos principais
são dados por:
Neste caso,
, então a fórmula simplifica:
Cálculo:
Logo
Explicação do conceito: os momentos principais são os extremos possíveis de
ao girar o sistema de eixos; quando
os eixos principais ficam a
(ver próximo passo).
Passo 8
Encontrar a orientação (ângulo) dos eixos principais em relação ao eixo
. A fórmula geral para o ângulo
(medido do eixo
até o eixo principal associado a
) é:
No nosso caso
, então o quociente é infinito e
é
. Isso significa que
Precisamos identificar qual das duas direções (
ou
) corresponde ao maior momento
. Podemos usar a expressão:
Testando
e
(ou observar o sinal de
): como
, a direção
produz o maior momento e
o menor. Conclusão:
- Eixo principal associado a
está a medido a partir do eixo (perna horizontal). - Eixo principal associado a
está a .
Intuição geométrica: para um ângulo igual a 90° com pernas iguais, os eixos principais ficam alinhados com as bissetrizes do ângulo (±45°), e o maior momento fica na bissetriz que “abre” mais a área em relação ao eixo (aqui a bissetriz no primeiro quadrante dá
).
Resposta
Orientação: eixos principais a
(maior momento) e
(menor momento) em relação ao eixo
paralelo à perna horizontal.