SAQ 17
Determine the principal moment of inertia of the angle section 150 \times 150 \times 10 \mathrm{~mm} and locate their orientation.

Passo 1

O enunciado dá uma seção em ângulo com medidas das pernas e espessura e pede os momentos de inércia principais (ou seja, os autovalores do tensor de inércia da área) e a orientação desses eixos principais. Dados e perguntas listadas claramente:
  • Dados da seção: pernas iguais com comprimento 150\\ \mathrm{mm} e espessura 10\\ \mathrm{mm}. Representação usual: uma perna horizontal e outra vertical formando um ângulo reto, ambas com espessura 10\\ \mathrm{mm}. Notação do enunciado: seção 150\times150\times10\\ \mathrm{mm}.
  • Perguntas:
    1. Determinar os momentos de inércia principais (valores numéricos, em \mathrm{mm}^4).
    2. Localizar a orientação (ângulo) desses eixos principais em relação a um eixo de referência (vou usar como referência o eixo x paralelo à perna horizontal e o eixo y paralelo à perna vertical, com origem no canto externo onde as duas pernas se encontram).
Observações: adoto como origem o canto exterior onde as pernas se unem, com o eixo x seguindo a perna horizontal para a direita e o eixo y seguindo a perna vertical para cima. A resolução começa no Passo 2.

Passo 2

Calcular as áreas dos componentes e a área total (tratando a região sobreposta no canto). Dividimos a seção em dois retângulos (perna horizontal e perna vertical) e subtraímos a sobreposição quadrada 10\times10\\ \mathrm{mm}.
  • Área da perna horizontal: A_h = 150\cdot 10 = 1500\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área da perna vertical: A_v = 150\cdot 10 = 1500\\ \mathrm{mm}^2.
  • Área da sobreposição (quadrado): A_o = 10\cdot 10 = 100\\ \mathrm{mm}^2.
Área total:
A_t = A_h + A_v - A_o = 1500 + 1500 - 100 = 2900\\ \mathrm{mm}^2.
Explicação curta do conceito usado: para somar áreas de figuras que se sobrepõem, soma-se cada área e subtrai-se a parte em que houve contagem dupla (a sobreposição).

Passo 3

Calcular as coordenadas do centroide (primeiro momentos) em relação à origem escolhida (canto exterior). Para cada retângulo usamos o ponto médio como centroide local.
  • Centroide da perna horizontal: (x_h,y_h) = \left(\dfrac{150}{2},\dfrac{10}{2}\right) = (75,\,5)\\ \mathrm{mm}.
  • Centroide da perna vertical: (x_v,y_v) = \left(\dfrac{10}{2},\dfrac{150}{2}\right) = (5,\,75)\\ \mathrm{mm}.
  • Centroide da sobreposição: (x_o,y_o) = (5,\,5)\\ \mathrm{mm}.
Fórmula do centroide composto na direção x:
\bar{x} = \frac{A_h x_h + A_v x_v - A_o x_o}{A_t}.
Cálculo:
\bar{x} = \frac{1500\cdot75 + 1500\cdot5 - 100\cdot5}{2900} = \frac{119500}{2900} = \frac{1195}{29}\\ \mathrm{mm}\approx 41{,}2069\\ \mathrm{mm}.
Pela simetria das pernas iguais (horizontal/vertical), espera-se \bar{y}=\bar{x}. Confirmando:
\bar{y} = \frac{1500\cdot5 + 1500\cdot75 -100\cdot5}{2900} = \frac{119500}{2900} \approx 41{,}2069\\ \mathrm{mm}.
Comentário didático: o centroide do ângulo igual fica sobre a bissetriz do ângulo reto, mas não no ponto médio das pernas; por isso \bar{x}=\bar{y} mas ambos ≠ 75 nem ≠ 5.

Passo 4

Vamos calcular os momentos de inércia iniciais em relação aos eixos passando pela origem (canto exterior) — é mais simples somar os contributos de cada peça aí e depois transladar para os eixos centroidais usando teorema dos eixos paralelos.
Primeiro, recordando fórmulas de momento de inércia de um retângulo de largura b (na direção x) e altura h (na direção y) em torno de seus eixos centroidais:
I_{x,c}=\frac{b\,h^{3}}{12},\qquad I_{y,c}=\frac{h\,b^{3}}{12},
onde I_{x,c} é em torno de um eixo paralelo a x passando pelo centro do retângulo (ou seja, horizontal através do centro), e I_{y,c} é em torno de eixo paralelo a y pelo centro.
Para cada retângulo (horizontal, vertical, sobreposição) calculamos I_x e I_y em relação à origem usando o teorema dos eixos paralelos:
I_{x,\text{orig}} = I_{x,c} + A\cdot(y_c)^2,\qquad I_{y,\text{orig}} = I_{y,c} + A\cdot(x_c)^2.
Cálculos dos momentos centroidais dos retângulos:
  • Perna horizontal ( b=150,\\ h=10): I_{x,c}^{(h)}=\frac{150\cdot 10^{3}}{12}=12500\\ \mathrm{mm}^4,\qquad I_{y,c}^{(h)}=\frac{10\cdot 150^{3}}{12}=2812500\\ \mathrm{mm}^4.
  • Perna vertical ( b=10,\\ h=150): I_{x,c}^{(v)}=\frac{10\cdot 150^{3}}{12}=2812500\\ \mathrm{mm}^4,\qquad I_{y,c}^{(v)}=\frac{150\cdot 10^{3}}{12}=12500\\ \mathrm{mm}^4.
  • Sobreposição ( 10\times10): I_{x,c}^{(o)}=I_{y,c}^{(o)}=\frac{10\cdot10^{3}}{12}=833{,}333\ldots\\ \mathrm{mm}^4.
Agora momentos em relação à origem:
  • Para I_x em relação à origem:
    I_{x,\text{orig}} = \big(I_{x,c}^{(h)} + A_h y_h^2\big) + \big(I_{x,c}^{(v)} + A_v y_v^2\big) - \big(I_{x,c}^{(o)} + A_o y_o^2\big).
    Substituindo números:
    I_{x,\text{orig}} = (12500 + 1500\cdot5^2) + (2812500 + 1500\cdot75^2) - (833{,}333\ldots + 100\cdot5^2) = 11\,296\,666{,}667\\ \mathrm{mm}^4.
  • De modo análogo, por simetria:
    I_{y,\text{orig}} = 11\,296\,666{,}667\\ \mathrm{mm}^4.
Comentário: por causa das pernas iguais e da escolha da origem no canto exterior, os momentos em torno de x e y na origem são iguais.

Passo 5

Calcular o produto de inércia em relação à origem. Para um retângulo cujo sistema de eixos coincide com as direções simétricas do retângulo, o produto de inércia em torno do seu próprio centro é zero. O produto de inércia em relação à origem para cada peça é dado por:
I_{xy,\text{orig}} = \sum A_i\,x_{c,i}\,y_{c,i} \quad\text{(somando perna horizontal e vertical e subtraindo a sobreposição).}çã
Substituindo:
I_{xy,\text{orig}} = 1500\cdot75\cdot5 + 1500\cdot5\cdot75 - 100\cdot5\cdot5 = 562500 + 562500 - 2500 = 1\,122\,500\\ \mathrm{mm}^4.
Explicação didática: I_{xy} mede a “correlação” entre as coordenadas da área; para cada pedaço uniforme pode-se aproximar pelo produto da área pelo produto das coordenadas do seu centro.

Passo 6

Transladar os momentos e o produto de inércia da origem para o centroide ( \bar{x},\bar{y}) usando as relações de mudança de eixo (teorema dos eixos paralelos para momentos e produto de inércia):
Fórmulas:
I_x = I_{x,\text{orig}} - A_t\,\bar{y}^2,\qquad I_y = I_{y,\text{orig}} - A_t\,\bar{x}^2,\qquad I_{xy} = I_{xy,\text{orig}} - A_t\,\bar{x}\,\bar{y}.
Já calculamos I_{x,\text{orig}}=I_{y,\text{orig}}=11\,296\,666{,}667\\ \mathrm{mm}^4, I_{xy,\text{orig}}=1\,122\,500\\ \mathrm{mm}^4, A_t=2900\\ \mathrm{mm}^2 e \bar{x}=\bar{y}\approx 41{,}2069\\ \mathrm{mm}. Calculamos \bar{x}^2\approx 1698{,}0083\\ \mathrm{mm}^2.
Agora:
A_t\,\bar{x}^2 = A_t\,\bar{y}^2 \approx 2900\cdot1698{,}0083 = 4\,924\,224{,}128\\ \mathrm{mm}^4.
Portanto:
I_x = I_y = 11\,296\,666{,}667 - 4\,924\,224{,}128 \approx 6\,372\,442{,}539\\ \mathrm{mm}^4.
I_{xy} = 1\,122\,500 - 4\,924\,224{,}128 \approx -3\,801\,724{,}128\\ \mathrm{mm}^4.
Interpretação: os momentos centrais em x e y são iguais e o produto de inércia é negativo (indicando orientação dos eixos principais rota em relação aos eixos x,y).

Passo 7

Determinar os momentos de inércia principais (autovalores) e a orientação dos eixos principais. Para um plano, os momentos principais I_1,I_2 são dados por:
I_{1,2} = \frac{I_x + I_y}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{I_x - I_y}{2}\right)^2 + I_{xy}^2 }.
Neste caso, I_x = I_y, então a fórmula simplifica:
I_{1,2} = I_x \pm |I_{xy}|.
Cálculo:
I_{\text{médio}} = \frac{I_x + I_y}{2} = I_x \approx 6\,372\,442{,}539\\ \mathrm{mm}^4,é
|I_{xy}| \approx 3\,801\,724{,}128\\ \mathrm{mm}^4.
Logo
I_{\max} = I_1 = I_{\text{médio}} + |I_{xy}| \approx 6\,372\,442{,}539 + 3\,801\,724{,}128 = 10\,174\,166{,}667\\ \mathrm{mm}^4,é
I_{\min} = I_2 = I_{\text{médio}} - |I_{xy}| \approx 6\,372\,442{,}539 - 3\,801\,724{,}128 = 2\,570\,718{,}411\\ \mathrm{mm}^4.é
Explicação do conceito: os momentos principais são os extremos possíveis de I ao girar o sistema de eixos; quando I_x=I_y os eixos principais ficam a \pm 45^\circ (ver próximo passo).

Passo 8

Encontrar a orientação (ângulo) dos eixos principais em relação ao eixo x. A fórmula geral para o ângulo \theta (medido do eixo x até o eixo principal associado a I_1) é:
\tan(2\theta)=\frac{2I_{xy}}{I_x - I_y}.
No nosso caso I_x - I_y = 0, então o quociente é infinito e \tan(2\theta) é \pm\infty. Isso significa que
2\theta = \pm 90^\circ \quad\Rightarrow\quad \theta = \pm 45^\circ.
Precisamos identificar qual das duas direções ( +45^\circ ou -45^\circ) corresponde ao maior momento I_{\max}. Podemos usar a expressão:
I(\theta) = I_x\cos^2\theta + I_y\sin^2\theta - 2I_{xy}\sin\theta\cos\theta.
Testando \theta=+45^\circ e \theta=-45^\circ (ou observar o sinal de I_{xy}): como I_{xy}<0, a direção \theta=+45^\circ produz o maior momento e \theta=-45^\circ o menor. Conclusão:
  • Eixo principal associado a I_{\max} está a \theta=+45^\circ medido a partir do eixo x (perna horizontal).
  • Eixo principal associado a I_{\min} está a \theta=-45^\circ.
Intuição geométrica: para um ângulo igual a 90° com pernas iguais, os eixos principais ficam alinhados com as bissetrizes do ângulo (±45°), e o maior momento fica na bissetriz que “abre” mais a área em relação ao eixo (aqui a bissetriz no primeiro quadrante dá I_{\max}).

Resposta

I_{\max}=10\,174\,166{,}667\\ \mathrm{mm}^4,\qquad I_{\min}=2\,570\,718{,}411\\ \mathrm{mm}^4
Orientação: eixos principais a \theta=+45^\circ (maior momento) e \theta=-45^\circ (menor momento) em relação ao eixo x paralelo à perna horizontal.

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