SAQ 16
Determine the product of inertia of the equal angle section 150 \times 150 \times 10 \mathrm{~mm} about centroidal axes parallel to the two sides.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o produto de inércia da seção em ângulo igual 150\times150\times10\\ \mathrm{mm} em relação a eixos centroidais paralelos aos dois lados (ou seja, eixos paralelos às duas línguas do ângulo, com origem no centroide da seção).\n
Informações dadas e decisões iniciais:
  • Seção: ângulo igual com comprimentos das línguas 150\\ \mathrm{mm} e espessura 10\\ \mathrm{mm}.
  • Vou modelar a seção como a união de dois retângulos perpendiculares (uma língua horizontal e outra vertical) menos a região de interseção que fica contada duas vezes.
  • Vou tomar como referência inicial o canto externo onde as línguas se encontram e definir um sistema de coordenadas com o eixo x positivo ao longo da língua horizontal e o eixo y positivo ao longo da língua vertical. Depois encontrarei o centroide da seção e, a partir dele, calcularei o produto de inércia em relação aos eixos centroidais paralelos às línguas.

Passo 2

Decomposição em partes geométricas simples (retângulos) — identificando áreas e centróides medidos a partir do canto externo (origem escolhida):
  • Retângulo 1 (língua horizontal): comprimento 150, espessura 10. A_1 = 150\cdot10 = 1500\\ \mathrm{mm}^2, \qquad (x_1,y_1) = \left(\frac{150}{2},\frac{10}{2}\right)= (75,\;5)\\ \mathrm{mm}.
  • Retângulo 2 (língua vertical): comprimento 150, espessura 10. A_2 = 150\cdot10 = 1500\\ \mathrm{mm}^2, \qquad (x_2,y_2) = \left(\frac{10}{2},\frac{150}{2}\right)= (5,\;75)\\ \mathrm{mm}.
  • Região de sobreposição (subtrair uma vez): quadrado 10\times10 no canto. A_3 = 10\cdot10 = 100\\ \mathrm{mm}^2, \qquad (x_3,y_3) = \left(\frac{10}{2},\frac{10}{2}\right)= (5,\;5)\\ \mathrm{mm}.

Passo 3

Cálculo da área total e das coordenadas do centroide da seção (medidas a partir do canto externo):
  • Área total: A = A_1 + A_2 - A_3 = 1500 + 1500 - 100 = 2900\\ \mathrm{mm}^2.
  • Coordenada \bar{x} do centroide: \bar{x} = \frac{A_1 x_1 + A_2 x_2 - A_3 x_3}{A} = \frac{1500\cdot75 + 1500\cdot5 - 100\cdot5}{2900}.Calculemos numericamente: 1500\cdot75 = 112500,\quad 1500\cdot5 = 7500,\quad 100\cdot5 = 500,
\bar{x} = \frac{112500 + 7500 - 500}{2900} = \frac{119500}{2900} = \frac{1195}{29}\\ \mathrm{mm} \approx 41{,}20689655\\ \mathrm{mm}.
  • Por simetria da seção igual, a coordenada \bar{y} é igual a \bar{x}: \bar{y} = \bar{x} = \frac{1195}{29}\\ \mathrm{mm} \approx 41{,}20689655\\ \mathrm{mm}.

Passo 4

Fórmula para o produto de inércia de uma área composta e observações:
  • Regra geral (para peças planas): o produto de inércia em relação aos eixos centroidais é I_{xy,\text{total}} = \sum \left(I_{xy,\text{centro do elemento}} + A_i\,x'_i\,y'_i\right),onde x'_i e y'_i são as coordenadas do centro do elemento i medidas a partir do centroide da área composta.
  • Observação importante: o produto de inércia de um retângulo em relação aos seus eixos centroidais (eixos paralelos aos lados do retângulo) é zero por simetria. Logo I_{xy,\text{centro do elemento}}=0 para cada retângulo aqui.
  • Assim: I_{xy} = \sum A_i\,x'_i\,y'_i,lembrando que a área da peça de sobreposição entra com sinal negativo (já usamos A_3 subtraída na área total).

Passo 5

Calcular as distâncias dos centróides das partes ao centroide da seção:
  • Definindo x'_i = x_i - \bar{x} e y'_i = y_i - \bar{y}.
  • Para facilitar, usamos frações exatas: \bar{x}=\bar{y}=\dfrac{1195}{29}.
    • Para o retângulo 1: x'_1 = 75 - \frac{1195}{29} = \frac{2175-1195}{29}=\frac{980}{29}, \qquad y'_1 = 5 - \frac{1195}{29} = \frac{145-1195}{29}=\frac{-1050}{29}.
    • Para o retângulo 2: x'_2 = 5 - \frac{1195}{29} = \frac{-1050}{29}, \qquad y'_2 = 75 - \frac{1195}{29} = \frac{980}{29}.
    • Para o quadrado de sobreposição (que será subtraído): x'_3 = 5 - \frac{1195}{29} = \frac{-1050}{29}, \qquad y'_3 = 5 - \frac{1195}{29} = \frac{-1050}{29}.

Passo 6

Calcular cada contribuição A_i x'_i y'_i e somar (lembrando o sinal de A_3):
  • Produto x'_1 y'_1: x'_1 y'_1 = \frac{980}{29}\cdot\frac{-1050}{29} = -\frac{980\cdot1050}{29^2} = -\frac{1\,029\,000}{841}.Contribuição do retângulo 1: A_1 x'_1 y'_1 = 1500\cdot\left(-\frac{1\,029\,000}{841}\right) = -\frac{1\,543\,500\,000}{841}.
  • Retângulo 2 dá a mesma contribuição (mesma magnitude): A_2 x'_2 y'_2 = 1500\cdot\left(-\frac{1\,029\,000}{841}\right) = -\frac{1\,543\,500\,000}{841}.
  • Para o quadrado (subtraído): x'_3 y'_3 x'_3 y'_3 = \frac{-1050}{29}\cdot\frac{-1050}{29} = \frac{1\,102\,500}{841}.Como a área do quadrado foi subtraída da composição, sua contribuição ao produto total será -A_3 x'_3 y'_3: -A_3 x'_3 y'_3 = -100\cdot\frac{1\,102\,500}{841} = -\frac{110\,250\,000}{841}.
  • Soma das contribuições: I_{xy} = -\frac{1\,543\,500\,000}{841} -\frac{1\,543\,500\,000}{841} -\frac{110\,250\,000}{841} = -\frac{3\,197\,250\,000}{841}\\ \mathrm{mm}^4.
  • Valor numérico: I_{xy} = -\frac{3\,197\,250\,000}{841}\\ \mathrm{mm}^4 \approx -3{,}801724137\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4.

Passo 7

Interpretação do sinal: o produto de inércia saiu negativo porque, com a origem no centroide e eixos paralelos às línguas, os centros das áreas estão distribuídos nos quadrantes de forma que a soma \sum A_i x'_i y'_i é negativa. Em problemas práticos, é comum encontrar produto de inércia diferente de zero para seções assimétricas em relação aos eixos desejados.

Resposta

-3{,}801724137\times10^{6}\\ \mathrm{mm}^4

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