SAQ 16
Determine the product of inertia of the equal angle section
about centroidal axes parallel to the two sides.
Determine the product of inertia of the equal angle section
Passo 1
O enunciado pede: determinar o produto de inércia da seção em ângulo igual
em relação a eixos centroidais paralelos aos dois lados (ou seja, eixos paralelos às duas línguas do ângulo, com origem no centroide da seção).\n
Informações dadas e decisões iniciais:
Informações dadas e decisões iniciais:
- Seção: ângulo igual com comprimentos das línguas
e espessura . - Vou modelar a seção como a união de dois retângulos perpendiculares (uma língua horizontal e outra vertical) menos a região de interseção que fica contada duas vezes.
- Vou tomar como referência inicial o canto externo onde as línguas se encontram e definir um sistema de coordenadas com o eixo
positivo ao longo da língua horizontal e o eixo positivo ao longo da língua vertical. Depois encontrarei o centroide da seção e, a partir dele, calcularei o produto de inércia em relação aos eixos centroidais paralelos às línguas.
Passo 2
Decomposição em partes geométricas simples (retângulos) — identificando áreas e centróides medidos a partir do canto externo (origem escolhida):
- Retângulo 1 (língua horizontal): comprimento
, espessura . - Retângulo 2 (língua vertical): comprimento
, espessura . - Região de sobreposição (subtrair uma vez): quadrado
no canto.
Passo 3
Cálculo da área total e das coordenadas do centroide da seção (medidas a partir do canto externo):
- Área total:
- Coordenada
do centroide: Calculemos numericamente:
- Por simetria da seção igual, a coordenada
é igual a :
Passo 4
Fórmula para o produto de inércia de uma área composta e observações:
- Regra geral (para peças planas): o produto de inércia em relação aos eixos centroidais é
onde e são as coordenadas do centro do elemento medidas a partir do centroide da área composta. - Observação importante: o produto de inércia de um retângulo em relação aos seus eixos centroidais (eixos paralelos aos lados do retângulo) é zero por simetria. Logo
para cada retângulo aqui. - Assim:
lembrando que a área da peça de sobreposição entra com sinal negativo (já usamos subtraída na área total).
Passo 5
Calcular as distâncias dos centróides das partes ao centroide da seção:
- Definindo
e . - Para facilitar, usamos frações exatas:
. - Para o retângulo 1:
- Para o retângulo 2:
- Para o quadrado de sobreposição (que será subtraído):
- Para o retângulo 1:
Passo 6
Calcular cada contribuição
e somar (lembrando o sinal de
):
- Produto
: Contribuição do retângulo 1: - Retângulo 2 dá a mesma contribuição (mesma magnitude):
- Para o quadrado (subtraído):
Como a área do quadrado foi subtraída da composição, sua contribuição ao produto total será : - Soma das contribuições:
- Valor numérico:
Passo 7
Interpretação do sinal: o produto de inércia saiu negativo porque, com a origem no centroide e eixos paralelos às línguas, os centros das áreas estão distribuídos nos quadrantes de forma que a soma
é negativa. Em problemas práticos, é comum encontrar produto de inércia diferente de zero para seções assimétricas em relação aos eixos desejados.