Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado abaixo. A planta
é dada por:
. Supondo que a entrada de ruído
seja nula, projete os controladores
e
para que o sistema projetado satisfaça o seguinte:
A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário tenha um sobressinal máximo de
ou menos e o tempo de acomodação seja de
ou menos.
A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário tenha um sobressinal máximo de
Passo 1
O enunciado nos dá:
- A planta
. - A entrada de ruído
é nula. - Quer-se projetar os controladores
e para que a resposta ao degrau unitário atenda: - sobressinal máximo de
ou menos; - tempo de acomodação (settling time) de
ou menos.
- sobressinal máximo de
Observações que vou assumir (porque a figura não foi enviada): a arquitetura é a 2‑DOF típica com
no laço de realimentação (controller de malha) e
como prefilter (forma habitual de 2‑DOF). Também vou usar critério de acomodação de
(caso queira
, o projeto muda um pouco; posso ajustar se precisar).
Passo 2
Relembrando as fórmulas padrões para um sistema dominantemente de segunda ordem (aquelas que usamos para projetar tempo de acomodação e overshoot):
- O sobressinal máximo
está ligado ao coeficiente de amortecimento por
- O tempo de acomodação aproximado (critério
) é
onde
é a frequência natural do modo dominante.
Primeiro encontramos o mínimo de
que garante
. Resolvendo numericamente a equação
obtém-se
Para ter margem de projeto escolho
(isso dá um overshoot menor e é confortável para cálculos). Com
temos:
que fica abaixo do limite
.
Agora impondo
e usando
com
temos
Escolho
(satisfez
exatamente e é simples de trabalhar).
Resumo das especificações de pólos dominantes que escolhi:
Passo 3
Análise da malha com controlador em realimentação
e prefilter
.
- Defina a função laço aberto
. - A função de transferência em malha fechada (com prefilter
) é
Para que os pólos dominantes fiquem onde escolhemos, devemos projetar
de modo que o polinômio característico
tenha os coeficientes desejados.
Vamos testar um controlador simples para ver o que é possível:
- Se
(ganho proporcional puro), então
o que gera o polinômio característico
Comparando com o polinômio de segunda ordem desejado
vemos que o coeficiente do termo
é fixo em
(pela planta) e não pode ser alterado apenas com
. Assim não conseguimos simultaneamente fixar
e
livremente usando só ganho: falta um grau de liberdade. Conclusão: precisamos de um controlador que introduza um termo em
no numerador de
(ou seja, um zero em
) — por exemplo, um controlador do tipo PD (derivativo) que coloca um zero e permite ajustar o coeficiente do termo em
.
Passo 4
Escolho um controlador PD na forma
Vamos escrever o polinômio característico:
O numerador (polinômio característico) é
Queremos igualar esse polinômio ao desejado
Igualando coeficientes obtemos duas equações simples:
Passo 5
Substituindo os valores escolhidos
e
nas equações do passo anterior:
- Da primeira equação
- Da segunda equação
Substituindo
,
Portanto o controlador em laço fica
Podemos escrever em forma expandida:
porque
exatamente (
).
Verificação rápida: o polinômio característico resultante é
que corresponde a
e
, ou seja
. Assim:
atendendo às especificações (tempo de acomodação igual a
, que é admissível pois pedido era
ou menos).
Passo 6
Escolha do prefilter
. Como a planta já é do tipo 1 (tem integrador) e nosso controlador não eliminou esse integrador, a resposta ao degrau tem erro em regime permanente nulo com realimentação unitária. Para o requisito pedido (sobressinal e tempo de acomodação) um prefilter unitário
é suficiente. Se quisesse melhorar forma de referência (por exemplo reduzir overshoot ainda mais sem mexer em
) poderia projetar
apropriado, mas não é necessário aqui.
Observação prática: um termo derivativo puro aumenta ruído de alta frequência; na implementação real recomenda‑se usar um derivador com pequeno filtro (por exemplo
com
).