Considere o sistema de controle com dois graus de liberdade mostrado abaixo. A planta G_{p}(s) é dada por: G_{p}(s)=\frac{100}{s(s+1)}. Supondo que a entrada de ruído N(s) seja nula, projete os controladores G_{c 1}(s) e G_{c 2}(s) para que o sistema projetado satisfaça o seguinte:
A resposta à entrada de referência do tipo degrau unitário tenha um sobressinal máximo de 25 \% ou menos e o tempo de acomodação seja de 1 s ou menos.

Passo 1

O enunciado nos dá:
  • A planta \,G_{p}(s)=\dfrac{100}{s(s+1)}\,.
  • A entrada de ruído N(s) é nula.
  • Quer-se projetar os controladores \,G_{c1}(s) e \,G_{c2}(s) para que a resposta ao degrau unitário atenda:
    • sobressinal máximo de 25\% ou menos;
    • tempo de acomodação (settling time) de 1\\ \text{s} ou menos.
Observações que vou assumir (porque a figura não foi enviada): a arquitetura é a 2‑DOF típica com \,G_{c1}(s) no laço de realimentação (controller de malha) e \,G_{c2}(s) como prefilter (forma habitual de 2‑DOF). Também vou usar critério de acomodação de 2\% (caso queira 5\%, o projeto muda um pouco; posso ajustar se precisar).

Passo 2

Relembrando as fórmulas padrões para um sistema dominantemente de segunda ordem (aquelas que usamos para projetar tempo de acomodação e overshoot):
  • O sobressinal máximo \,M_p está ligado ao coeficiente de amortecimento \,\zeta por
M_p = \exp\!\left(-\dfrac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right).
  • O tempo de acomodação aproximado (critério 2\%) é
t_s \approx \dfrac{4}{\zeta \,\omega_n},
onde \,\omega_n é a frequência natural do modo dominante.
Primeiro encontramos o mínimo de \zeta que garante M_p\le 0,25. Resolvendo numericamente a equação \exp\!\left(-\dfrac{\pi \zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right)=0,25 obtém-se
\zeta_{\min}\approx 0{,}4035.
Para ter margem de projeto escolho \zeta=0{,}5 (isso dá um overshoot menor e é confortável para cálculos). Com \zeta=0{,}5 temos:
M_p=\exp\!\left(-\dfrac{\pi\cdot 0{,}5}{\sqrt{1-0{,}5^2}}\right)\approx 0{,}163 \; (16{,}3\%),
que fica abaixo do limite 25\%.
Agora impondo t_s\le 1\\ \text{s} e usando t_s\approx 4/(\zeta\omega_n) com \zeta=0{,}5 temos
\omega_n \ge \dfrac{4}{\zeta\, t_s} = \dfrac{4}{0{,}5\cdot 1} = 8\\ \text{rad/s}.
Escolho \omega_n = 8\\ \text{rad/s} (satisfez t_s=1\\ \text{s} exatamente e é simples de trabalhar).
Resumo das especificações de pólos dominantes que escolhi:
\zeta = 0{,}5,\qquad \omega_n = 8\\ \text{rad/s}.

Passo 3

Análise da malha com controlador em realimentação \,G_{c1}(s) e prefilter \,G_{c2}(s).
  • Defina a função laço aberto \,L(s)=G_{c1}(s)\,G_p(s).
  • A função de transferência em malha fechada (com prefilter \,G_{c2}(s)) é
T(s)=\dfrac{G_{c2}(s)\,L(s)}{1+L(s)}.
Para que os pólos dominantes fiquem onde escolhemos, devemos projetar \,G_{c1}(s) de modo que o polinômio característico 1+L(s)=0 tenha os coeficientes desejados.
Vamos testar um controlador simples para ver o que é possível:
  • Se \,G_{c1}(s)=K (ganho proporcional puro), então
1+L(s)=1 + \dfrac{100K}{s(s+1)}=\dfrac{s(s+1)+100K}{s(s+1)},
o que gera o polinômio característico
s^2 + s + 100K.
Comparando com o polinômio de segunda ordem desejado s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2 vemos que o coeficiente do termo s é fixo em 1 (pela planta) e não pode ser alterado apenas com K. Assim não conseguimos simultaneamente fixar \zeta e \omega_n livremente usando só ganho: falta um grau de liberdade. Conclusão: precisamos de um controlador que introduza um termo em s no numerador de L(s) (ou seja, um zero em L(s)) — por exemplo, um controlador do tipo PD (derivativo) que coloca um zero e permite ajustar o coeficiente do termo em s.

Passo 4

Escolho um controlador PD na forma
G_{c1}(s)=K(1+T_d s).
Vamos escrever o polinômio característico:
1+L(s)=1 + \dfrac{100K(1+T_d s)}{s(s+1)}=\dfrac{s(s+1)+100K(1+T_d s)}{s(s+1)}.
O numerador (polinômio característico) é
s^2 + \big(1 + 100K T_d\big)s + 100K.
Queremos igualar esse polinômio ao desejado
s^2 + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^2.
Igualando coeficientes obtemos duas equações simples:
\omega_n^2 = 100K,
2\zeta\omega_n = 1 + 100K T_d.

Passo 5

Substituindo os valores escolhidos \zeta=0{,}5 e \omega_n=8 nas equações do passo anterior:
  • Da primeira equação
100K = \omega_n^2 = 8^2 = 64 \quad\Rightarrow\quad K = \dfrac{64}{100} = 0{,}64.
  • Da segunda equação
2\zeta\omega_n = 2\cdot 0{,}5\cdot 8 = 8 = 1 + 100K T_d.
Substituindo K=0{,}64,
8 = 1 + 100(0{,}64)T_d = 1 + 64 T_d \quad\Rightarrow\quad 64 T_d = 7 \quad\Rightarrow\quad T_d = \dfrac{7}{64} = 0{,}109375\\ \text{s}.
Portanto o controlador em laço fica
G_{c1}(s)=K(1+T_d s)=0{,}64\big(1 + 0{,}109375\,s\big).
Podemos escrever em forma expandida:
G_{c1}(s)=0{,}07\,s + 0{,}64
porque 0{,}64\cdot 0{,}109375 = 0{,}07 exatamente ( 7/100).
Verificação rápida: o polinômio característico resultante é
s^2 + (1 + 100K T_d)s + 100K = s^2 + (1+64\cdot 0{,}109375)s + 64 = s^2 + 8 s + 64,
que corresponde a 2\zeta\omega_n = 8 e \omega_n^2 = 64, ou seja \zeta=0{,}5,\\ \omega_n=8. Assim:
M_p \approx 16{,}3\% < 25\%,\qquad t_s \approx \dfrac{4}{\zeta\omega_n}=\dfrac{4}{0{,}5\cdot 8}=1{,}0\\ \text{s},
atendendo às especificações (tempo de acomodação igual a 1\\ \text{s}, que é admissível pois pedido era 1\\ \text{s} ou menos).

Passo 6

Escolha do prefilter \,G_{c2}(s). Como a planta já é do tipo 1 (tem integrador) e nosso controlador não eliminou esse integrador, a resposta ao degrau tem erro em regime permanente nulo com realimentação unitária. Para o requisito pedido (sobressinal e tempo de acomodação) um prefilter unitário \,G_{c2}(s)=1 é suficiente. Se quisesse melhorar forma de referência (por exemplo reduzir overshoot ainda mais sem mexer em \,G_{c1}) poderia projetar \,G_{c2}(s) apropriado, mas não é necessário aqui.
Observação prática: um termo derivativo puro aumenta ruído de alta frequência; na implementação real recomenda‑se usar um derivador com pequeno filtro (por exemplo T_d s/(1+T_f s) com T_f\ll T_d).

Resposta

\displaystyle G_{c1}(s)=0{,}64\big(1+0{,}109375\,s\big)=0{,}07\,s+0{,}64
\displaystyle G_{c2}(s)=1

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