O estado de deformação em um ponto do suporte tem componentes de \varepsilon_{x}=150 \times 10^{-6}, \varepsilon_{y}=200 \times 10^{-6} e \gamma_{x y}=-700 \times 10^{-6}. Use o círculo de Mohr para o EPD e determine as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado em um ângulo de \theta=30^{\circ} no sentido horário a partir da posição original. Esboce o elemento deformado dentro do plano x-y devido a essas deformações.
Dados no ponto (peguei estes valores do enunciado):
\varepsilon_{x}=150\times10^{-6}
\varepsilon_{y}=200\times10^{-6}
\gamma_{xy}=-700\times10^{-6} (a notação \gamma_{xy} é a deformação de engenharia; é o somatório das mudanças angulares)
Pedido:
Determinar as deformações no elemento girado de \theta=30^\circ no sentido horário a partir da posição original, ou seja, calcular
\varepsilon_{x'},
\varepsilon_{y'},
\gamma_{x'y'}.
Esboçar o elemento deformado no plano x\!-\!y devido a essas deformações.
Observação importante (para não nos confundirmos): girar \theta=30^\circ no sentido horário equivale a usar \theta=-30^\circ quando usamos fórmulas com sentido anti-horário positivo.
Passo 2
Conceito e fórmulas de transformação (a “aula” rápida e necessária).
Ideia: um estado plano de deformação com \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy} pode ser expresso em qualquer eixo girado x' - y'. Existe uma fórmula direta (obtida do círculo de Mohr para deformações ou pelas relações de transformação) que dá \varepsilon_{x'}, \varepsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} em função de \theta.
Definições das quantidades que vamos usar:
\varepsilon_{\text{média}}=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2} é o centro do círculo de Mohr (média das deformações normais).
\Delta\varepsilon=\dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2} é metade da diferença das deformações normais.
\dfrac{\gamma_{xy}}{2} é o componente de cisalhamento usado no círculo.
\theta é o ângulo de rotação do eixo x para x', positivo no sentido anti-horário. (Aqui usaremos \theta=-30^\circ porque o enunciado deu rotação horária.)
Fórmulas de transformação (estas são as que o círculo de Mohr encurta; eu explico cada termo):\varepsilon_{x'}=\varepsilon_{\text{média}}+\Delta\varepsilon\cos2\theta+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,
\varepsilon_{\text{média}} desloca a base (é o valor médio).
O termo \Delta\varepsilon\cos2\theta descreve como a diferença entre \varepsilon_x e \varepsilon_y se projeta no novo eixo (a oscilação com período 90^\circ aparente pelo 2\theta).
O termo com \dfrac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta mistura o cisalhamento original com a rotação para produzir deformação normal no novo eixo.
Para \gamma_{x'y'} a fórmula combina a contribuição da diferença de normais (via \sin2\theta) com a do cisalhamento original (via \cos2\theta).
Observação sobre sinais: manter consistência com \theta=-30^\circ é suficiente para obter os sinais corretos.
Passo 3
Calcular os parâmetros intermediários numéricos (vou manter tudo em \times10^{-6} para facilitar a leitura).
Metade da diferença:\Delta\varepsilon=\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{150\times10^{-6}-200\times10^{-6}}{2}=-25\times10^{-6}.
Metade do cisalhamento:\frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-700\times10^{-6}}{2}=-350\times10^{-6}.
Ângulo: como a rotação é horária 30^\circ, tomamos \theta=-30^\circ. Então2\theta=-60^\circ,\qquad \cos2\theta=\cos(-60^\circ)=0{,}5,\qquad \sin2\theta=\sin(-60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}8660254.
Comentário didático rápido: o sinal negativo em \gamma_{x'y'} indica o sentido da distorção (consistente com a rotação horária e com o \gamma_{xy} original negativo).
Passo 7
Como esboçar o elemento deformado no plano x\!-\!y (instrução passo a passo + cálculo de um exemplo prático).
Método prático para desenhar (modo mais seguro em prova): considerar um quadrado de referência de lado unitário (lado =1) com cantos originais: (0,0),\\ (1,0),\\ (1,1),\\ (0,1).
Uma escolha compatível de campo de deslocamento linear que gera as deformações constantes dadas é:u(x,y)=\varepsilon_x\,x+\frac{\gamma_{xy}}{2}\,y,\qquad v(x,y)=\frac{\gamma_{xy}}{2}\,x+\varepsilon_y\,y,em que u é o deslocamento na direção x e v é o deslocamento na direção y.
(Raciocínio: \partial u/\partial x=\varepsilon_x,\\ \partial v/\partial y=\varepsilon_y,\\ \partial u/\partial y+\partial v/\partial x=\gamma_{xy}.)
Aplicando aos quatro cantos (uso dos valores originais \varepsilon_x,\varepsilon_y,\gamma_{xy}):
Ponto A(0,0): u=0,\\ v=0 → novo ponto A'=(0,0).
Ponto B(1,0): u=\varepsilon_x\cdot1+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot0=150\times10^{-6},\\ v=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot1+\varepsilon_y\cdot0=-350\times10^{-6}.
→ B'=(1+150\times10^{-6},\\\ -350\times10^{-6}).
Ponto C(1,1): u=\varepsilon_x\cdot1+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot1=150\times10^{-6}-350\times10^{-6}=-200\times10^{-6}, v=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot1+\varepsilon_y\cdot1=-350\times10^{-6}+200\times10^{-6}=-150\times10^{-6}.
→ C'=(1-200\times10^{-6},\\\ 1-150\times10^{-6}).
Ponto D(0,1): u=\varepsilon_x\cdot0+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot1=-350\times10^{-6},\\ v=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot0+\varepsilon_y\cdot1=200\times10^{-6}.
→ D'=(-350\times10^{-6},\\\ 1+200\times10^{-6}).
Como proceder ao desenhar:
Desenhe o quadrado original A B C D com lados 1 (ou qualquer escala).
Para cada vértice aplique o deslocamento calculado e marque os novos pontos A',B',C',D'.
Una A'B'C'D' para ver o quadrilátero deformado: ele ficará levemente alongado na direção y (porque \varepsilon_y> \varepsilon_x) e apresenta um cisalhamento significativo (porque \gamma_{xy} é relativamente grande e negativo), ou seja, as arestas não permanecem perpendiculares.
Interpretação geométrica simples:
\varepsilon_x=150\times10^{-6} alonga levemente as linhas paralelas a x.
\varepsilon_y=200\times10^{-6} alonga um pouco mais as linhas paralelas a y.
\gamma_{xy}=-700\times10^{-6} causa uma mudança de ângulo entre direções x e y; sinal negativo indica a direção do giro relativo (no sentido horário do traçado).
Se quiser o esboço rápido à mão: desenhe o quadrado original e, em escala ampliada (porque 10^{-6} é muito pequeno), aplique os deslocamentos anteriores: o vértice B desloca-se para a direita e para baixo um pouco, D desloca-se para a esquerda e para cima, etc. Isso dá a ideia visual do cisalhamento combinado com alongamento.