O estado de deformação em um ponto do suporte tem componentes de \varepsilon_{x}=150 \times 10^{-6}, \varepsilon_{y}=200 \times 10^{-6} e \gamma_{x y}=-700 \times 10^{-6}. Use o círculo de Mohr para o EPD e determine as deformações equivalentes no plano em um elemento orientado em um ângulo de \theta=30^{\circ} no sentido horário a partir da posição original. Esboce o elemento deformado dentro do plano x-y devido a essas deformações.
\begin{aligned} \text { Resposta: } & \varepsilon_{x^{\prime}}=466 \times 10^{-6} \\\ & \varepsilon_{y^{\prime}}=-116 \times 10^{-6} \\\ & \gamma_{x^{\prime} y^{\prime}}=-393 \times 10^{-6} \end{aligned}

Passo 1

O que o enunciado nos dá e o que ele pede.
  • Dados no ponto (peguei estes valores do enunciado):
    • \varepsilon_{x}=150\times10^{-6}
    • \varepsilon_{y}=200\times10^{-6}
    • \gamma_{xy}=-700\times10^{-6} (a notação \gamma_{xy} é a deformação de engenharia; é o somatório das mudanças angulares)
  • Pedido:
    • Determinar as deformações no elemento girado de \theta=30^\circ no sentido horário a partir da posição original, ou seja, calcular
      • \varepsilon_{x'},
      • \varepsilon_{y'},
      • \gamma_{x'y'}.
    • Esboçar o elemento deformado no plano x\!-\!y devido a essas deformações.
Observação importante (para não nos confundirmos): girar \theta=30^\circ no sentido horário equivale a usar \theta=-30^\circ quando usamos fórmulas com sentido anti-horário positivo.

Passo 2

Conceito e fórmulas de transformação (a “aula” rápida e necessária).
  • Ideia: um estado plano de deformação com \varepsilon_x,\\ \varepsilon_y,\\ \gamma_{xy} pode ser expresso em qualquer eixo girado x' - y'. Existe uma fórmula direta (obtida do círculo de Mohr para deformações ou pelas relações de transformação) que dá \varepsilon_{x'}, \varepsilon_{y'} e \gamma_{x'y'} em função de \theta.
  • Definições das quantidades que vamos usar:
    • \varepsilon_{\text{média}}=\dfrac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}é é o centro do círculo de Mohr (média das deformações normais).
    • \Delta\varepsilon=\dfrac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2} é metade da diferença das deformações normais.
    • \dfrac{\gamma_{xy}}{2} é o componente de cisalhamento usado no círculo.
    • \theta é o ângulo de rotação do eixo x para x', positivo no sentido anti-horário. (Aqui usaremos \theta=-30^\circ porque o enunciado deu rotação horária.)
  • Fórmulas de transformação (estas são as que o círculo de Mohr encurta; eu explico cada termo): \varepsilon_{x'}=\varepsilon_{\text{média}}+\Delta\varepsilon\cos2\theta+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,é
\varepsilon_{y'}=\varepsilon_{\text{média}}-\Delta\varepsilon\cos2\theta-\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,é
\gamma_{x'y'}= -(\varepsilon_x-\varepsilon_y)\sin2\theta + \gamma_{xy}\cos2\theta.
  • Explicação dos termos:
    • \varepsilon_{\text{média}}é desloca a base (é o valor médio).
    • O termo \Delta\varepsilon\cos2\theta descreve como a diferença entre \varepsilon_x e \varepsilon_y se projeta no novo eixo (a oscilação com período 90^\circ aparente pelo 2\theta).
    • O termo com \dfrac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta mistura o cisalhamento original com a rotação para produzir deformação normal no novo eixo.
    • Para \gamma_{x'y'} a fórmula combina a contribuição da diferença de normais (via \sin2\theta) com a do cisalhamento original (via \cos2\theta).
  • Observação sobre sinais: manter consistência com \theta=-30^\circ é suficiente para obter os sinais corretos.

Passo 3

Calcular os parâmetros intermediários numéricos (vou manter tudo em \times10^{-6} para facilitar a leitura).
  • Média: \varepsilon_{\text{média}}=\frac{\varepsilon_x+\varepsilon_y}{2}=\frac{150\times10^{-6}+200\times10^{-6}}{2}=175\times10^{-6}.é
  • Metade da diferença: \Delta\varepsilon=\frac{\varepsilon_x-\varepsilon_y}{2}=\frac{150\times10^{-6}-200\times10^{-6}}{2}=-25\times10^{-6}.
  • Metade do cisalhamento: \frac{\gamma_{xy}}{2}=\frac{-700\times10^{-6}}{2}=-350\times10^{-6}.
  • Ângulo: como a rotação é horária 30^\circ, tomamos \theta=-30^\circ. Então 2\theta=-60^\circ,\qquad \cos2\theta=\cos(-60^\circ)=0{,}5,\qquad \sin2\theta=\sin(-60^\circ)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\approx-0{,}8660254.

Passo 4

Cálculo detalhado de \varepsilon_{x'}.
Usando
\varepsilon_{x'}=\varepsilon_{\text{média}}+\Delta\varepsilon\cos2\theta+\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,é
substituímos os valores:
  • \varepsilon_{\text{média}}=175\times10^{-6}é.
  • \Delta\varepsilon\cos2\theta = (-25\times10^{-6})\cdot0{,}5 = -12{,}5\times10^{-6}.
  • \dfrac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta = (-350\times10^{-6})\cdot(-0{,}8660254)=+303{,}1089\times10^{-6}.
Somando:
\varepsilon_{x'}=175\times10^{-6}-12{,}5\times10^{-6}+303{,}1089\times10^{-6}=465{,}6089\times10^{-6}.
Arredondando de forma prática para apresentação (mesma precisão da resposta fornecida):
\varepsilon_{x'}\approx466\times10^{-6}.

Passo 5

Cálculo detalhado de \varepsilon_{y'}.
Usando
\varepsilon_{y'}=\varepsilon_{\text{média}}-\Delta\varepsilon\cos2\theta-\frac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta,é
substituímos:
  • -\Delta\varepsilon\cos2\theta = -(-25\times10^{-6})\cdot0{,}5 = +12{,}5\times10^{-6}.
  • -\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\sin2\theta = -\big((-350\times10^{-6})\cdot(-0{,}8660254)\big) = -303{,}1089\times10^{-6}.
Somando:
\varepsilon_{y'}=175\times10^{-6}+12{,}5\times10^{-6}-303{,}1089\times10^{-6}=-115{,}6089\times10^{-6}.
Arredondando:
\varepsilon_{y'}\approx -116\times10^{-6}.

Passo 6

Cálculo detalhado de \gamma_{x'y'}.
Usando
\gamma_{x'y'}= -(\varepsilon_x-\varepsilon_y)\sin2\theta + \gamma_{xy}\cos2\theta.
Note que \varepsilon_x-\varepsilon_y=150\times10^{-6}-200\times10^{-6}=-50\times10^{-6}.
  • Primeiro termo: -(\varepsilon_x-\varepsilon_y)\sin2\theta = -(-50\times10^{-6})\cdot(-0{,}8660254) = 50\times10^{-6}\cdot(-0{,}8660254) = -43{,}30127\times10^{-6}.
  • Segundo termo: \gamma_{xy}\cos2\theta = (-700\times10^{-6})\cdot0{,}5 = -350\times10^{-6}.
Somando:
\gamma_{x'y'} = -43{,}30127\times10^{-6}-350\times10^{-6} = -393{,}30127\times10^{-6}.
Arredondando:
\gamma_{x'y'}\approx -393\times10^{-6}.
Comentário didático rápido: o sinal negativo em \gamma_{x'y'} indica o sentido da distorção (consistente com a rotação horária e com o \gamma_{xy} original negativo).

Passo 7

Como esboçar o elemento deformado no plano x\!-\!y (instrução passo a passo + cálculo de um exemplo prático).
  • Método prático para desenhar (modo mais seguro em prova): considerar um quadrado de referência de lado unitário (lado =1) com cantos originais:
    (0,0),\\ (1,0),\\ (1,1),\\ (0,1).
  • Uma escolha compatível de campo de deslocamento linear que gera as deformações constantes dadas é: u(x,y)=\varepsilon_x\,x+\frac{\gamma_{xy}}{2}\,y,\qquad v(x,y)=\frac{\gamma_{xy}}{2}\,x+\varepsilon_y\,y,em que u é o deslocamento na direção x e v é o deslocamento na direção y.
    (Raciocínio: \partial u/\partial x=\varepsilon_x,\\ \partial v/\partial y=\varepsilon_y,\\ \partial u/\partial y+\partial v/\partial x=\gamma_{xy}.)
  • Aplicando aos quatro cantos (uso dos valores originais \varepsilon_x,\varepsilon_y,\gamma_{xy}):
    • Ponto A(0,0): u=0,\\ v=0 → novo ponto A'=(0,0).
    • Ponto B(1,0): u=\varepsilon_x\cdot1+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot0=150\times10^{-6},\\ v=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot1+\varepsilon_y\cdot0=-350\times10^{-6}.
      B'=(1+150\times10^{-6},\\\ -350\times10^{-6}).
    • Ponto C(1,1): u=\varepsilon_x\cdot1+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot1=150\times10^{-6}-350\times10^{-6}=-200\times10^{-6},
      v=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot1+\varepsilon_y\cdot1=-350\times10^{-6}+200\times10^{-6}=-150\times10^{-6}.
      C'=(1-200\times10^{-6},\\\ 1-150\times10^{-6}).
    • Ponto D(0,1): u=\varepsilon_x\cdot0+\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot1=-350\times10^{-6},\\ v=\dfrac{\gamma_{xy}}{2}\cdot0+\varepsilon_y\cdot1=200\times10^{-6}.
      D'=(-350\times10^{-6},\\\ 1+200\times10^{-6}).
  • Como proceder ao desenhar:
    1. Desenhe o quadrado original A B C D com lados 1 (ou qualquer escala).
    2. Para cada vértice aplique o deslocamento calculado e marque os novos pontos A',B',C',D'.
    3. Una A'B'C'D' para ver o quadrilátero deformado: ele ficará levemente alongado na direção y (porque \varepsilon_y> \varepsilon_x) e apresenta um cisalhamento significativo (porque \gamma_{xy} é relativamente grande e negativo), ou seja, as arestas não permanecem perpendiculares.
  • Interpretação geométrica simples:
    • \varepsilon_x=150\times10^{-6} alonga levemente as linhas paralelas a x.
    • \varepsilon_y=200\times10^{-6} alonga um pouco mais as linhas paralelas a y.
    • \gamma_{xy}=-700\times10^{-6} causa uma mudança de ângulo entre direções x e y; sinal negativo indica a direção do giro relativo (no sentido horário do traçado).
  • Se quiser o esboço rápido à mão: desenhe o quadrado original e, em escala ampliada (porque 10^{-6} é muito pequeno), aplique os deslocamentos anteriores: o vértice B desloca-se para a direita e para baixo um pouco, D desloca-se para a esquerda e para cima, etc. Isso dá a ideia visual do cisalhamento combinado com alongamento.

Resposta

\varepsilon_{x'}=466\times10^{-6}
\varepsilon_{y'}=-116\times10^{-6}
\gamma_{x'y'}=-393\times10^{-6}

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