Scjam F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} e Y(s)=\mathcal{L}\left\{y(t)\right\}. Detcrminc a transformada inversa de Laplace da função:
F(s)=\frac{6 s+3}{\left(s^{4}+5 s^{2}+4\right)};

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{6s+3}{s^{4}+5s^{2}+4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Está implícito que F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e precisamos encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
  • O numerador é \(6s+3).
  • O denominador é \(s^{4}+5s^{2}+4).
    A resolução começará agora decompondo F(s) em frações parciais e aplicando transformadas inversas conhecidas.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que \(s^{4}+5s^{2}+4) é um polinômio em \(s^{2}). Procuramos fatores quadráticos:
s^{4}+5s^{2}+4 = (s^{2}+a)(s^{2}+b).
Testando a=1 e b=4 (porque 1+4=5 e 1\cdot4=4), obtemos
(s^{2}+1)(s^{2}+4) = s^{4}+5s^{2}+4.
Portanto o denominador fatorou-se como (s^{2}+1)(s^{2}+4).

Passo 3

Para inverter a transformada vamos usar frações parciais com quadráticos irreduzíveis. A forma geral para cada fator (s^{2}+a^{2}) é \dfrac{As+B}{s^{2}+a^{2}}. Assim assumimos:
\frac{6s+3}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)} = \frac{As+B}{s^{2}+1} + \frac{Cs+D}{s^{2}+4}.
Agora vamos determinar os coeficientes A,B,C,D.

Passo 4

Multiplicamos ambos os lados por (s^{2}+1)(s^{2}+4) para eliminar denominadores:
6s+3 = (As+B)(s^{2}+4) + (Cs+D)(s^{2}+1).
Desenvolvemos os produtos no lado direito.

Passo 5

Expandindo os termos do lado direito:
(As+B)(s^{2}+4) = As^{3} + Bs^{2} + 4As + 4B,
(Cs+D)(s^{2}+1) = Cs^{3} + Ds^{2} + Cs + D.
Somando:
( A+C ) s^{3} + ( B+D ) s^{2} + ( 4A + C ) s + ( 4B + D ).

Passo 6

Comparando coeficientes com o polinômio 6s+3, cujos coeficientes são 0 para s^{3}, 0 para s^{2}, 6 para s e 3 para a constante, obtemos o sistema:
\begin{cases} A + C = 0,\\[4pt] B + D = 0,\\[4pt] 4A + C = 6,\\[4pt] 4B + D = 3. \end{cases}]

Passo 7

Resolvendo o sistema: da primeira equação \(C=-A). Substituindo na terceira:
4A + (-A) = 6 \implies 3A = 6 \implies A = 2.
Então C = -2.
Da segunda equação \(D=-B). Substituindo na quarta:
4B + (-B) = 3 \implies 3B = 3 \implies B = 1.
Então D = -1.

Passo 8

Com os coeficientes encontrados, a decomposição fica:
\frac{6s+3}{(s^{2}+1)(s^{2}+4)} = \frac{2s+1}{s^{2}+1} + \frac{-2s-1}{s^{2}+4}.
Ou escrevendo de forma mais clara:
F(s)=\frac{2s+1}{s^{2}+1} - \frac{2s+1}{s^{2}+4}.

Passo 9

Agora usamos transformadas inversas conhecidas:
  • \mathcal{L}\{\cos(at)\} = \dfrac{s}{s^{2}+a^{2}}.
  • \mathcal{L}\{\sin(at)\} = \dfrac{a}{s^{2}+a^{2}}.
    Portanto:
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2s}{s^{2}+1}\right\} = 2\cos t porque aqui a=1.
  • \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+1}\right\} = \sin t.
  • Para o segundo termo, com a=2: \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{2s}{s^{2}+4}\right\} = 2\cos(2t).
  • E \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\dfrac{1}{s^{2}+4}\right\} = \dfrac{1}{2}\sin(2t) porque \mathcal{L}\{\sin(2t)\}=\dfrac{2}{s^{2}+4}.

Passo 10

Aplicando as inversas termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s+1}{s^{2}+1}\right\} = 2\cos t + \sin t,
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{2s+1}{s^{2}+4}\right\} = 2\cos(2t) + \tfrac{1}{2}\sin(2t).
Como o segundo vem com sinal negativo na decomposição, a função no tempo é
f(t) = 2\cos t + \sin t - 2\cos(2t) - \tfrac{1}{2}\sin(2t).

Resposta

f(t)=2\cos t+\sin t-2\cos(2t)-\tfrac{1}{2}\sin(2t)

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