Scjam F(s)=\mathcal{L}\left\{f(t)\right\} e Y(s)=\mathcal{L}\left\{y(t)\right\}. Detcrminc a transformada inversa de Laplace da função: F(s)=\frac{6 s+3}{\left(s^{4}+5 s^{2}+4\right)};
Passo 1
O enunciado pede a transformada inversa de Laplace da função
F(s)=\frac{6s+3}{s^{4}+5s^{2}+4}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
Está implícito que F(s)=\mathcal{L}\{f(t)\} e precisamos encontrar f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}.
O numerador é \(6s+3).
O denominador é \(s^{4}+5s^{2}+4).
A resolução começará agora decompondo F(s) em frações parciais e aplicando transformadas inversas conhecidas.
Passo 2
Primeiro fatoramos o denominador. Observamos que \(s^{4}+5s^{2}+4) é um polinômio em \(s^{2}). Procuramos fatores quadráticos:
s^{4}+5s^{2}+4 = (s^{2}+a)(s^{2}+b).
Testando a=1 e b=4 (porque 1+4=5 e 1\cdot4=4), obtemos
(s^{2}+1)(s^{2}+4) = s^{4}+5s^{2}+4.
Portanto o denominador fatorou-se como (s^{2}+1)(s^{2}+4).
Passo 3
Para inverter a transformada vamos usar frações parciais com quadráticos irreduzíveis. A forma geral para cada fator (s^{2}+a^{2}) é \dfrac{As+B}{s^{2}+a^{2}}. Assim assumimos: