Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
;
Passo 1
O que o problema pede: calcular
.
Informações dadas:
a função interna é
, a variável de integração é
e a transformada pedida é a transformada de Laplace em função de
.
Informações dadas:
Passo 2
Definição da transformada de Laplace que vamos usar: para uma função causal
(definida para
),
desde que a integral convirja. Aqui
é a variável complexa da transformada.
Teorema da Convolução (o que vamos aplicar): se
e
são duas funções causais cuja transformada de Laplace existe, então o produto das transformadas é a transformada da convolução:
onde
e
,
.
Explicando em miúdos: se a função que você quer transformar é uma integral do tipo acima, pode ser escrita como convolução de duas funções simples; então basta multiplicar as transformadas dessas duas funções.
Explicando em miúdos: se a função que você quer transformar é uma integral do tipo acima, pode ser escrita como convolução de duas funções simples; então basta multiplicar as transformadas dessas duas funções.
Passo 3
Identificação de funções cuja convolução dá a integral do enunciado. Tome
Calcule a convolução:
que é exatamente a função dentro da transformada do enunciado. Portanto podemos aplicar o Teorema da Convolução com essas
e
.
Passo 4
Calcular as transformadas individuais
e
.
Para
:
Essa integral é uma integral geométrica que converge se
, ou seja
. O valor é
Para
:
Passo 5
Aplicar o Teorema da Convolução: a transformada da convolução é o produto
. Logo
Região de validade: para que ambas as transformadas existam e o produto represente a transformada da convolução, precisamos de
.
Checagem alternativa (opcional, para fixar a ideia): podemos primeiro calcular a integral interna explicitamente:
e então
o que confirma o resultado obtido pelo Teorema da Convolução.