Use o Teorema da Convolução para calcular o valor das transformadas de Laplace dadas.
\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} e^{\tau} d \tau\right\};

Passo 1

O que o problema pede: calcular \mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau\right\}.
Informações dadas:
\displaystyle a função interna é \displaystyle \int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau, a variável de integração é \displaystyle \tau e a transformada pedida é a transformada de Laplace em função de \displaystyle s.

Passo 2

Definição da transformada de Laplace que vamos usar: para uma função causal \displaystyle f(t) (definida para \displaystyle t\ge 0),
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} f(t)\,dt,
desde que a integral convirja. Aqui \displaystyle s é a variável complexa da transformada.
Teorema da Convolução (o que vamos aplicar): se \displaystyle f e \displaystyle g são duas funções causais cuja transformada de Laplace existe, então o produto das transformadas é a transformada da convolução:
\mathcal{L}\{(f*g)(t)\}(s)=F(s)\,G(s),
onde
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau,
e \displaystyle F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s), \displaystyle G(s)=\mathcal{L}\{g\}(s).
Explicando em miúdos: se a função que você quer transformar é uma integral do tipo acima, pode ser escrita como convolução de duas funções simples; então basta multiplicar as transformadas dessas duas funções.

Passo 3

Identificação de funções cuja convolução dá a integral do enunciado. Tome
f(t)=e^{t}\quad\text{e}\quad g(t)=1\quad(\text{para }t\ge 0).
Calcule a convolução:
(f*g)(t)=\int_{0}^{t} f(\tau)\,g(t-\tau)\,d\tau=\int_{0}^{t} e^{\tau}\cdot 1\,d\tau=\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau,
que é exatamente a função dentro da transformada do enunciado. Portanto podemos aplicar o Teorema da Convolução com essas \displaystyle f e \displaystyle g.

Passo 4

Calcular as transformadas individuais \displaystyle F(s) e \displaystyle G(s).
Para \displaystyle f(t)=e^{t}:
F(s)=\mathcal{L}\{e^{t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st} e^{t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-1)t}\,dt.
Essa integral é uma integral geométrica que converge se \displaystyle \Re(s-1)>0, ou seja \displaystyle \Re(s)>1. O valor é
F(s)=\frac{1}{s-1}\qquad(\Re(s)>1).
Para \displaystyle g(t)=1:
G(s)=\mathcal{L}\{1\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-st}\,dt=\frac{1}{s}\qquad(\Re(s)>0).

Passo 5

Aplicar o Teorema da Convolução: a transformada da convolução é o produto F(s)G(s). Logo
\mathcal{L}\left\{\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau\right\}(s)=F(s)\,G(s)=\frac{1}{s-1}\cdot\frac{1}{s}=\frac{1}{s(s-1)}.
Região de validade: para que ambas as transformadas existam e o produto represente a transformada da convolução, precisamos de \displaystyle \Re(s)>1.
Checagem alternativa (opcional, para fixar a ideia): podemos primeiro calcular a integral interna explicitamente:
\int_{0}^{t} e^{\tau}\,d\tau = e^{t}-1,
e então
\mathcal{L}\{e^{t}-1\}(s)=\mathcal{L}\{e^{t}\}(s)-\mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s-1}-\frac{1}{s}=\frac{1}{s(s-1)},
o que confirma o resultado obtido pelo Teorema da Convolução.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{s(s-1)}

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