Seção 3.9 - pág. 223
4. O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de
e sua largura está aumentando numa taxa de
. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm , quão rápido a área do retângulo está aumentando?
5. Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de
. Quão rápido a altura da água está aumentando?
4. O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de
5. Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de
Passo 1
Resumindo, há dois problemas de taxas relacionadas.
Em (4), um retângulo com comprimento variando a
e largura
variando a
; pede-se a taxa de variação da área
definida por
.
Em (5), um cilindro de raio fixo tem volume variando a
; pede-se a taxa de variação da altura
sabendo que
. Em ambos vamos derivar as fórmulas em relação a
.
Em (4), um retângulo com comprimento
Em (5), um cilindro de raio fixo
Passo 2
No problema 4, escrevemos
e aplicamos a regra do produto para derivar em relação ao tempo:
Passo 3
Substituindo os valores
,
,
e
, obtemos
Logo, a área aumenta a
Passo 4
No problema 5, usamos
com
constante e derivamos em relação a
:
Passo 5
Isolando
e substituindo
e
, vem
Portanto, a altura aumenta a