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4. O comprimento de um retângulo está aumentando a uma taxa de 8 \mathrm{~cm} / \mathrm{s} e sua largura está aumentando numa taxa de 3 \mathrm{~cm} / \mathrm{s}. Quando o comprimento for 20 cm e a largura for 10 cm , quão rápido a área do retângulo está aumentando?
5. Um tanque cilíndrico com raio de 5 m está sendo enchido com água a uma taxa de 3 \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{min}. Quão rápido a altura da água está aumentando?

Passo 1

Resumindo, há dois problemas de taxas relacionadas.
Em (4), um retângulo com comprimento L variando a \frac{dL}{dt}=8\\ \mathrm{cm/s} e largura W variando a \frac{dW}{dt}=3\\ \mathrm{cm/s}; pede-se a taxa de variação da área A definida por A=L\,W.
Em (5), um cilindro de raio fixo r=5\\ \mathrm{m} tem volume variando a \frac{dV}{dt}=3\\ \mathrm{m}^3/\mathrm{min}; pede-se a taxa de variação da altura h sabendo que V=\pi\,r^2\,h. Em ambos vamos derivar as fórmulas em relação a t.

Passo 2

No problema 4, escrevemos
A = L\,W
e aplicamos a regra do produto para derivar em relação ao tempo:
\frac{dA}{dt} = L\,\frac{dW}{dt} \;+\; W\,\frac{dL}{dt}.

Passo 3

Substituindo os valores L=20, W=10, \frac{dL}{dt}=8 e \frac{dW}{dt}=3, obtemos
\frac{dA}{dt} = 20\cdot 3 \;+\; 10\cdot 8 = 60 + 80 = 140.
Logo, a área aumenta a 140\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}.

Passo 4

No problema 5, usamos
V = \pi\,r^2\,h
com r=5 constante e derivamos em relação a t:
\frac{dV}{dt} = \pi\,r^2\,\frac{dh}{dt}.

Passo 5

Isolando \frac{dh}{dt} e substituindo \frac{dV}{dt}=3 e r=5, vem
\frac{dh}{dt} = \frac{1}{\pi\cdot 5^2}\;3 = \frac{3}{25\pi}.
Portanto, a altura aumenta a \tfrac{3}{25\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}.

Resposta

  1. 140\\ \mathrm{cm}^2/\mathrm{s}
  2. \displaystyle \frac{3}{25\pi}\\ \mathrm{m}/\mathrm{min}

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