Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
Compacidade;
Interior vazio;
Medida de Lebesgue nula;
Perfeição;
Não enumerabilidade.
Não enumerabilidade: Mostre que o Conjunto de Cantor C não é enumerável, ou seja, que possui cardinalidade do contínuo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor C não é enumerável, ou seja, que \lvert C\rvert tem a cardinalidade do contínuo. O conteúdo que vamos usar é a representação em base ternária de pontos de [0,1] e o argumento do “diagonal” para provar que existe tanta gente em C quanto em \{0,1\}^{\mathbb{N}}.
Passo 2
Cada ponto x\in C admite pelo menos uma expansão ternária cujos dígitos são só 0 ou 2. Mais precisamente, definimos para cada sequência (s_n)_{n=1}^\infty\in\{0,1\}^{\mathbb{N}} o número
x=\sum_{n=1}^{\infty} s_n\,\frac{2}{3^n}.
Como cada s_n vale 0 ou 1, os dígitos de x na base 3 ficam em \{0,2\}, garantindo que x não cai em nenhuma das lacunas abertas retiradas na construção de Cantor. Portanto essa soma define um ponto x\in C.
Passo 3
Mostramos que a função
\Phi\colon \{0,1\}^{\mathbb{N}}\to C \quad\text{dada por}\quad \Phi\bigl((s_n)\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty} s_n\,\frac{2}{3^n}
é injetora. Se (s_n)\neq(t_n) então existe k tal que s_k\neq t_k, e daí