Nesta atividade, vamos trabalhar as seguintes propriedades do Conjunto de Cantor:
  • Compacidade;
  • Interior vazio;
  • Medida de Lebesgue nula;
  • Perfeição;
  • Não enumerabilidade.
  1. Não enumerabilidade: Mostre que o Conjunto de Cantor C não é enumerável, ou seja, que possui cardinalidade do contínuo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o Conjunto de Cantor C não é enumerável, ou seja, que \lvert C\rvert tem a cardinalidade do contínuo. O conteúdo que vamos usar é a representação em base ternária de pontos de [0,1] e o argumento do “diagonal” para provar que existe tanta gente em C quanto em \{0,1\}^{\mathbb{N}}.

Passo 2

Cada ponto x\in C admite pelo menos uma expansão ternária cujos dígitos são só 0 ou 2. Mais precisamente, definimos para cada sequência (s_n)_{n=1}^\infty\in\{0,1\}^{\mathbb{N}} o número
x=\sum_{n=1}^{\infty} s_n\,\frac{2}{3^n}.
Como cada s_n vale 0 ou 1, os dígitos de x na base 3 ficam em \{0,2\}, garantindo que x não cai em nenhuma das lacunas abertas retiradas na construção de Cantor. Portanto essa soma define um ponto x\in C.

Passo 3

Mostramos que a função
\Phi\colon \{0,1\}^{\mathbb{N}}\to C \quad\text{dada por}\quad \Phi\bigl((s_n)\bigr) =\sum_{n=1}^{\infty} s_n\,\frac{2}{3^n}
é injetora. Se (s_n)\neq(t_n) então existe k tal que s_k\neq t_k, e daí
\bigl|\Phi((s_n))-\Phi((t_n))\bigr| =\biggl|\sum_{n=1}^\infty (s_n-t_n)\,\frac{2}{3^n}\biggr| \;\ge\;\frac{2}{3^k}-\sum_{n=k+1}^\infty\frac{2}{3^n} =\frac{2}{3^k}-\frac{2}{3^k}\cdot\frac{1/3}{1-1/3} =\frac{2}{3^{\,k+1}}>0.
Logo \Phi((s_n))\neq\Phi((t_n)), provando injeção.

Passo 4

Como \Phi injeta \{0,1\}^{\mathbb{N}} em C, segue
\lvert C\rvert \;\ge\;\bigl\lvert\{0,1\}^{\mathbb{N}}\bigr\rvert =2^{\aleph_0}.
Por outro lado C\subset[0,1] implica \lvert C\rvert\le\lvert[0,1]\rvert=2^{\aleph_0}. Com isso concluímos
\lvert C\rvert =2^{\aleph_0},
isto é, C tem cardinalidade do contínuo e não pode ser enumerável.

Resposta

O Conjunto de Cantor C tem cardinalidade 2^{\aleph_0} e, portanto, não é enumerável.

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