Seção 2.5 Taxa de transferência de energia por ondas senoidais em cordas

  1. Q|C Em uma região longe do epicentro de um terremoto, uma onda sísmica pode ser modelada como transporte de energia em uma única direção, sem absorção, assim como uma onda em uma corda faz. Suponha que os movimentos de ondas sísmicas se movam do granito para a lama com densidade semelhante, mas com módulo volumétrico muito menor. Suponha que a velocidade da onda caia gradualmente por um fator de 25,0 , com um reflexo insignificante da onda. (a) Explique se a amplitude do chão tremendo vai aumentar ou diminuir. (b) Ela muda por um fator previsível? (Esse fenômeno levou ao colapso parte da rodovia Nimitz, em Oakland, Califórnia, durante o terremoto de Loma Prieta em 1989.)
  2. M Uma onda transversal em uma corda é descrita pela função de onda:

Passo 1

O enunciado pergunta duas coisas e nos dá informações claras. Perguntas:
(a) A amplitude do chão tremendo vai aumentar ou diminuir quando a onda passar do granito para a lama?
(b) A mudança de amplitude é previsível por algum fator numérico?
Informações fornecidas (tudo importante):
  • Movimentos modelados como ondas unidirecionais sem absorção (ou seja, energia transmitida é conservada, reflexão é insignificante).
  • Densidade do granito e da lama são parecidas (ou seja, podemos considerá-las iguais para efeito prático). Vou anotar isso como \rho_1\approx\rho_2.
  • O módulo volumétrico da lama é muito menor que o do granito, e a consequência dada é que a velocidade da onda cai gradualmente por um fator 25{,}0. Ou seja, \displaystyle v_2=\frac{v_1}{25}.
  • Não há reflexão significativa (então praticamente toda a energia que chega é transmitida).
  • Queremos saber o efeito na amplitude A da oscilação do solo (amplitude de deslocamento).

Passo 2

Qual princípio físico usar? Aqui a ideia natural é conservar o fluxo de energia (intensidade) transportado pela onda, porque não há absorção e não há reflexão significativa. Vou ensinar como relacionar intensidade média da onda com amplitude.
Considere uma onda harmônica unidimensional de deslocamento longitudinal (a dedução é análoga para ondas transversais em certos contextos) da forma
u(x,t)=A\cos(kx-\omega t).
  • A é a amplitude do deslocamento (o que queremos).
  • \omega é a frequência angular (rad/s).
  • k é o número de onda.
  • \rho é a densidade do meio.
  • v é a velocidade de propagação da onda no meio.
Para uma onda harmônica a energia média por unidade de volume é soma das energias cinética e potencial médias. Vou calcular rapidamente cada uma.

Passo 3

Velocidade de partícula e energia cinética média:
\frac{\partial u}{\partial t} = \omega A \sin(kx-\omega t),
o quadrado é (\partial u/\partial t)^2=\omega^2 A^2 \sin^2(\dots). A energia cinética instantânea por volume é \frac{1}{2}\rho(\partial u/\partial t)^2. A média temporal de \sin^2 é 1/2, logo a energia cinética média por unidade de volume é
\text{energia cinética média}=\frac{1}{2}\rho\cdot\frac{1}{2}\omega^2 A^2=\frac{1}{4}\rho\omega^2 A^2.éé
Agora a energia potencial média: a deformação (strain) é \partial u/\partial x = -kA\sin(\dots). Se o módulo volumétrico (ou módulo elástico relevante) é K, a energia potencial instantânea por volume é \tfrac{1}{2}K(\partial u/\partial x)^2. A média temporal, usando \langle\sin^2\rangle=1/2, dá
\text{energia potencial média}=\frac{1}{2}K\cdot\frac{1}{2}(kA)^2=\frac{1}{4}K k^2 A^2.é
Usando a relação entre velocidade e módulo para onda longitudinal,
v=\sqrt{\frac{K}{\rho}}\quad\Longrightarrow\quad K=\rho v^2,
substituímos em energia potencial média:
\text{energia potencial média}=\frac{1}{4}\rho v^2 k^2 A^2.é
Como k=\omega/v, temos k^2=\omega^2/v^2, e portanto
\text{energia potencial média}=\frac{1}{4}\rho\omega^2 A^2.é
Surpresa simpática: as energias cinética e potencial médias são iguais e somam
\text{energia média por volume}=\frac{1}{4}\rho\omega^2 A^2+\frac{1}{4}\rho\omega^2 A^2=\frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2.é

Passo 4

Intensidade média (fluxo de energia por área) é energia média por volume multiplicada pela velocidade v (porque a energia que está por volume é transportada à velocidade da onda). Logo a intensidade média da onda é
I=\left(\frac{1}{2}\rho\omega^2 A^2\right)v=\frac{1}{2}\rho v\omega^2 A^2.
Aqui:
  • I é a potência média transmitida por unidade de área (intensidade).
  • \rho é a densidade do meio.
  • v é a velocidade da onda no meio.
  • \omega é a frequência angular (a frequência da onda).
  • A é a amplitude do deslocamento.
Observação importante: na passagem entre meios, a frequência \omega permanece a mesma (a fronteira impõe continuidade temporal — as oscilações têm o mesmo período); o que muda são v, k e A.

Passo 5

Agora usamos conservação do fluxo de energia transmitido se reflexão é insignificante: I_1=I_2. Assim,
\frac{1}{2}\rho_1 v_1 \omega^2 A_1^2=\frac{1}{2}\rho_2 v_2 \omega^2 A_2^2.
Cancelamos \tfrac{1}{2} e \omega^2. O enunciado diz que as densidades são parecidas, então tomamos \rho_1\approx\rho_2; com isso
v_1 A_1^2 = v_2 A_2^2 \quad\Longrightarrow\quad A_2^2 = \frac{v_1}{v_2} A_1^2.
Portanto
A_2 = \sqrt{\frac{v_1}{v_2}}\,A_1.

Passo 6

Aplicando o número dado: \displaystyle v_2=\frac{v_1}{25}, logo \displaystyle \frac{v_1}{v_2}=25. Assim
A_2 = \sqrt{25}\,A_1 = 5\,A_1.
Conclusão: a amplitude aumenta por um fator 5.
Explicação física curta: quando a velocidade cai muito mas a energia transmitida por segundo por unidade de área tem de permanecer quase a mesma, a única maneira é aumentar a amplitude do deslocamento (porque a energia média por volume depende de \rho\omega^2 A^2 e a velocidade menor faz com que mais energia tenha que estar “empacotada” em deslocamentos maiores).

Passo 7

Caveats e comentários práticos (úteis para prova e compreensão):
  • Se \rho_1\neq\rho_2 exatamente, a relação geral é
A_2 = \sqrt{\frac{\rho_1 v_1}{\rho_2 v_2}}\,A_1.
  • Se houver reflexão não desprezível ou perda (atenuação), menos energia é transmitida e o aumento de amplitude na região transmissora será menor do que o previsto acima.
  • Em terrenos reais há efeitos locais (ressonância, heterogeneidade, geometrias complexas) que podem modificar resultados, mas o cálculo acima capta o efeito básico que explica porque solos moles amplificam tremores.
  • Motivacional: é exatamente esse tipo de amplificação que costuma fazer áreas com solo mole (lama, sedimentos) sofrerem mais dano do que rochas duras.

Resposta

(a) A amplitude do chão aumenta.
(b) Sim: com \rho semelhante e v_2=v_1/25, a amplitude aumenta por um fator 5, isto é, A_2=5A_1.

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