1. Em um circuito RLC em série, R=2,00 \Omega, L=20,0 m H e C=100 \mu F. A frequência angular da fonte é (tomada de parede) \omega=2 \pi(60,0 \mathrm{~Hz}) \approx 377 \frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}} e a amplitude V_{0}= 30,0 \mathrm{~V}. (a) Qual é a impedância do circuito? (b) O circuito é mais capacitivo ou mais indutivo (veja o slide 22). (c) A frequência da fonte é maior ou menor que a frequência de ressonância do circuito? Considere a expressão da potência dissipada (slide 26). (d) Mantendo todo o resto constante, qual o valor de R que maximiza P ? (e) Mantendo todo o resto constante, qual o valor de C que maximiza P ? (f) Mantendo todo o resto constante, qual o valor de L que maximiza P ? Resp: (a) Z=19,1 \Omega; (b) X_{C}>X_{L} \rightarrow mais capacitivo; (c) menor; (d) R_{\text {opt }}=18,986 \Omega; (e) C_{\text {opt }}=0,352 m F; (f) L_{\text {opt }}=70,35 m H

Passo 1

O enunciado pede seis coisas sobre um circuito RLC série alimentado por uma fonte senoidal:
(a) calcular a impedância do circuito;
(b) dizer se o circuito é mais capacitivo ou indutivo;
(c) comparar a frequência da fonte com a frequência de ressonância do circuito;
(d) manter tudo constante e achar o valor de R que maximiza a potência dissipada;
(e) manter tudo constante e achar o valor de C que maximiza a potência dissipada;
(f) manter tudo constante e achar o valor de L que maximiza a potência dissipada.
Os dados fornecidos são:
R=2{,}00\\ \Omega,\quad L=20{,}0\\ \text{mH}=20{,}0\times10^{-3}\\ \text{H},\quad C=100\\ \mu\text{F}=100\times10^{-6}\\ \text{F},
\omega=2\pi(60{,}0\\ \text{Hz})\approx377\\ \frac{\text{rad}}{\text{s}},\quad V_{0}=30{,}0\\ \text{V}.

Passo 2

Primeiro vamos revisar as fórmulas e conceitos que vamos usar (rápida aula prática, sem enrolação).
  • A reatância indutiva X_L é dada por
X_L=\omega L,
onde \omega é a frequência angular (rad/s) e L a indutância (H). Intuição: X_L cresce com \omega e com L.
  • A reatância capacitiva X_C é dada por
X_C=\frac{1}{\omega C},
onde C é a capacitância (F). Intuição: X_C diminui quando C aumenta ou quando \omega aumenta.
  • A impedância (módulo) de um circuito RLC série é
Z=\sqrt{R^{2}+\bigl(X_L-X_C\bigr)^{2}}.
Se X_L-X_C>0 o circuito é, no conjunto, indutivo; se X_L-X_C<0 o circuito é, no conjunto, capacitivo. O sinal do termo reativo determina se a corrente atrasa ou adianta a tensão.
  • A tensão de pico dada é V_{0}. A tensão eficaz ( V_{\text{rms}}) é
V_{\text{rms}}=\frac{V_{0}}{\sqrt{2}}.
  • A potência média dissipada na resistência (potência útil que vira calor) é
P= \frac{V_{\text{rms}}^{2}\,R}{Z^{2}}=V_{\text{rms}}^{2}\,\frac{R}{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}.
Isso é importante para as partes (d)-(f): para maximizar P com uma variável, veremos como minimizar o denominador ou otimizar a razão.

Passo 3

Calcular X_L e X_C numericamente com os valores dados.
  • Calcular X_L:
X_L=\omega L = 377\cdot(20{,}0\times10^{-3})=377\cdot0{,}020=7{,}54\\ \Omega.
  • Calcular X_C:
X_C=\frac{1}{\omega C}=\frac{1}{377\cdot(100\times10^{-6})}=\frac{1}{377\cdot0{,}0001}=\frac{1}{0{,}0377}\approx26{,}525\\ \Omega.
  • Diferença reativa:
X_L-X_C=7{,}54-26{,}525\approx-18{,}985\\ \Omega.
O módulo dessa diferença é |X_L-X_C|\approx18{,}985\\ \Omega.

Passo 4

Calcular a impedância Z usando a fórmula:
Z=\sqrt{R^{2}+\bigl(X_L-X_C\bigr)^{2}}=\sqrt{(2{,}00)^{2}+(-18{,}985)^{2}}.
Fazendo as contas:
(2{,}00)^{2}=4{,}00,\qquad (-18{,}985)^{2}\approx360{,}30,
Z=\sqrt{4{,}00+360{,}30}=\sqrt{364{,}30}\approx19{,}09\\ \Omega.
Arredondando para uma casa decimal:
Z\approx19{,}1\\ \Omega.

Passo 5

Comparar X_C e X_L para decidir se o circuito é capacitivo ou indutivo.
Nós calculamos X_C\approx26{,}525\\ \Omega e X_L\approx7{,}54\\ \Omega. Como X_C>X_L temos X_L-X_C<0; portanto o comportamento total é dominado pelo capacitor: o circuito é mais capacitivo. Em termos físicos: a corrente adianta a tensão (reatância líquida negativa).

Passo 6

Calcular a frequência angular de ressonância \omega_{0} e comparar com a dada \omega.
A ressonância em um RLC série ocorre quando X_L=X_C, ou equivalentemente
\omega_{0}=\frac{1}{\sqrt{LC}}.
Calculemos:
LC=(20{,}0\times10^{-3})\cdot(100\times10^{-6})=0{,}020\cdot0{,}0001=2{,}0\times10^{-6},
\sqrt{LC}=\sqrt{2{,}0\times10^{-6}}=1{,}4142\times10^{-3},
\omega_{0}=\frac{1}{1{,}4142\times10^{-3}}\approx707{,}11\\ \frac{\text{rad}}{\text{s}}.
Comparando com \omega\approx377\\ \text{rad/s}, temos \omega<\omega_{0}. Ou seja, a frequência da fonte é menor que a frequência de ressonância. (Isso também explica porque X_C>X_L.)

Passo 7

Derivar a condição que maximiza a potência P em relação a R (com L e C fixos).
A expressão relevante é
P(V_{\text{rms}},R)=V_{\text{rms}}^{2}\,\frac{R}{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}.
Para facilitar, escrevemos a=|X_L-X_C| (constante quando varíamos R). Então
P=K\cdot\frac{R}{R^{2}+a^{2}},\quad\text{onde }K=V_{\text{rms}}^{2}\\ \text{(constante)}.
Para achar o máximo de P(R) tomamos derivada e igualamos a zero:
\frac{dP}{dR}=K\cdot\frac{(R^{2}+a^{2})-2R^{2}}{(R^{2}+a^{2})^{2}} =K\cdot\frac{a^{2}-R^{2}}{(R^{2}+a^{2})^{2}}.
Zerando o numerador:
a^{2}-R^{2}=0\quad\Rightarrow\quad R^{2}=a^{2}\quad\Rightarrow\quad R=a\\ (\text{tomando }R>0).
Portanto o valor de R que maximiza P é
R_{\text{opt}}=|X_L-X_C|.
Numericamente, usamos a\approx18{,}985\\ \Omega, então
R_{\text{opt}}\approx18{,}986\\ \Omega.
Observação física-intuitiva: quando R é pequeno comparado ao desbalance reativo, aumentar R aumenta dissipação; quando R é grande demais, a corrente cai muito e a potência também cai — o máximo fica quando R iguala o “desbalance” reativo.

Passo 8

Achar C que maximiza P com R e L fixos.
Novamente P=V_{\text{rms}}^{2}\dfrac{R}{R^{2}+(X_L-X_C)^{2}}. Agora X_C=1/(\omega C) depende de C. Para maximizar P devemos minimizar o denominador D=R^{2}+(X_L-X_C)^{2}. Como R^{2} é constante, minimizar D é equivalente a minimizar (X_L-X_C)^{2}, ou seja tornar X_L-X_C=0. Assim a condição ótima é a de ressonância:
X_L=X_C\quad\Rightarrow\quad \omega L=\frac{1}{\omega C}\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{\omega^{2}L}.
Calculemos numericamente:
\omega^{2}=377^{2}=142\,129,
C_{\text{opt}}=\frac{1}{142\,129\cdot0{,}020}=\frac{1}{2\,842{,}58}\approx0{,}00035179\\ \text{F}.
Em unidades práticas:
C_{\text{opt}}\approx0{,}3518\times10^{-3}\\ \text{F}=0{,}3518\\ \text{mF}\approx0{,}352\\ \text{mF}.

Passo 9

Achar L que maximiza P com R e C fixos.
Pelo mesmo raciocínio, maximizar P é fazer X_L-X_C=0, i.e. ressonância:
\omega L=\frac{1}{\omega C}\quad\Rightarrow\quad L=\frac{1}{\omega^{2}C}.
Com C=100\\ \mu\text{F}=100\times10^{-6}\\ \text{F} e \omega^{2}=142\,129:
L_{\text{opt}}=\frac{1}{142\,129\cdot100\times10^{-6}}=\frac{1}{14{,}2129}\approx0{,}070352\\ \text{H}.
Em mili-henries:
L_{\text{opt}}\approx70{,}35\\ \text{mH}.

Resposta

(a) Z=19{,}1\\ \Omega
(b) X_{C}>X_{L}\rightarrow mais capacitivo
(c) menor
(d) R_{\text{opt}}=18{,}986\\ \Omega
(e) C_{\text{opt}}=0{,}352\\ \text{mF}
(f) L_{\text{opt}}=70{,}35\\ \text{mH}

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