- Em um circuito RLC em série,
e
. A frequência angular da fonte é (tomada de parede)
e a amplitude
. (a) Qual é a impedância do circuito? (b) O circuito é mais capacitivo ou mais indutivo (veja o slide 22). (c) A frequência da fonte é maior ou menor que a frequência de ressonância do circuito? Considere a expressão da potência dissipada (slide 26). (d) Mantendo todo o resto constante, qual o valor de
que maximiza
? (e) Mantendo todo o resto constante, qual o valor de
que maximiza
? (f) Mantendo todo o resto constante, qual o valor de
que maximiza
? Resp: (a)
; (b)
mais capacitivo; (c) menor; (d)
; (e)
; (f)
Passo 1
O enunciado pede seis coisas sobre um circuito RLC série alimentado por uma fonte senoidal:
(a) calcular a impedância do circuito;
(b) dizer se o circuito é mais capacitivo ou indutivo;
(c) comparar a frequência da fonte com a frequência de ressonância do circuito;
(d) manter tudo constante e achar o valor de que maximiza a potência dissipada;
(e) manter tudo constante e achar o valor de que maximiza a potência dissipada;
(f) manter tudo constante e achar o valor de que maximiza a potência dissipada.
(a) calcular a impedância do circuito;
(b) dizer se o circuito é mais capacitivo ou indutivo;
(c) comparar a frequência da fonte com a frequência de ressonância do circuito;
(d) manter tudo constante e achar o valor de
(e) manter tudo constante e achar o valor de
(f) manter tudo constante e achar o valor de
Os dados fornecidos são:
Passo 2
Primeiro vamos revisar as fórmulas e conceitos que vamos usar (rápida aula prática, sem enrolação).
- A reatância indutiva
é dada por
onde
é a frequência angular (rad/s) e
a indutância (H). Intuição:
cresce com
e com
.
- A reatância capacitiva
é dada por
onde
é a capacitância (F). Intuição:
diminui quando
aumenta ou quando
aumenta.
- A impedância (módulo) de um circuito RLC série é
Se
o circuito é, no conjunto, indutivo; se
o circuito é, no conjunto, capacitivo. O sinal do termo reativo determina se a corrente atrasa ou adianta a tensão.
- A tensão de pico dada é
. A tensão eficaz ( ) é
- A potência média dissipada na resistência (potência útil que vira calor) é
Isso é importante para as partes (d)-(f): para maximizar
com uma variável, veremos como minimizar o denominador ou otimizar a razão.
Passo 3
Calcular
e
numericamente com os valores dados.
- Calcular
:
- Calcular
:
- Diferença reativa:
O módulo dessa diferença é
.
Passo 4
Calcular a impedância
usando a fórmula:
Fazendo as contas:
Arredondando para uma casa decimal:
Passo 5
Comparar
e
para decidir se o circuito é capacitivo ou indutivo.
Nós calculamos
e
. Como
temos
; portanto o comportamento total é dominado pelo capacitor: o circuito é mais capacitivo. Em termos físicos: a corrente adianta a tensão (reatância líquida negativa).
Passo 6
Calcular a frequência angular de ressonância
e comparar com a dada
.
A ressonância em um RLC série ocorre quando , ou equivalentemente
A ressonância em um RLC série ocorre quando
Calculemos:
Comparando com
, temos
. Ou seja, a frequência da fonte é menor que a frequência de ressonância. (Isso também explica porque
.)
Passo 7
Derivar a condição que maximiza a potência
em relação a
(com
e
fixos).
A expressão relevante é
Para facilitar, escrevemos
(constante quando varíamos
). Então
Para achar o máximo de
tomamos derivada e igualamos a zero:
Zerando o numerador:
Portanto o valor de
que maximiza
é
Numericamente, usamos
, então
Observação física-intuitiva: quando
é pequeno comparado ao desbalance reativo, aumentar
aumenta dissipação; quando
é grande demais, a corrente cai muito e a potência também cai — o máximo fica quando
iguala o “desbalance” reativo.
Passo 8
Achar
que maximiza
com
e
fixos.
Novamente
. Agora
depende de
. Para maximizar
devemos minimizar o denominador
. Como
é constante, minimizar
é equivalente a minimizar
, ou seja tornar
. Assim a condição ótima é a de ressonância:
Calculemos numericamente:
Em unidades práticas:
Passo 9
Achar
que maximiza
com
e
fixos.
Pelo mesmo raciocínio, maximizar
é fazer
, i.e. ressonância:
Com
e
:
Em mili-henries:
Resposta
(a)
(b) mais capacitivo
(c) menor
(d)
(e)
(f)
(b)
(c) menor
(d)
(e)
(f)